Mathematik: Topologie: Stetigkeit

Stetige Funktionen sind Abbildungen, die in gewissem Sinne die Struktur eines topologischen Raumes erhalten. Das heißt intuitiv: Genügend nahe beieinander liegende Punkte werden auf nahe beieinander liegende Punkte abgebildet. Oder: Wenn man nur nahe genug an einen Punkt heran geht, liegen die Bilder von Punkten in dieser Nähe beliebig nahe am Bild des Punktes.

In der Sprache der Topologie heißt das: Für jede Umgebung des Bildpunktes existiert eine Umgebung des Punktes selbst, die vollständig in die Umgebung des Bildpunktes abgebildet wird.

Aussagen über stetige Funktionen

In vielen Lehrbüchern wird Stetigkeit nicht über Umgebungen, sondern über offene Mengen definiert:

Topologische Räume gemeinsam mit stetigen Funktionen bilden die Kategorie der topologischen Räume, kurz $𝕋𝕆\mathbb{P}$. Kurz gesagt: Die Identität ist stetig und die Hintereinanderausführung stetiger Abbildungen ist wieder stetig.

Isomorphismen in topologischen Räumen

Nachdem wir bereits gesehen haben, dass topologische Räume mit stetigen Abbildungen eine Kategorie bilden, können wir nun auch einfach den Begriff des Isomorphismus in topologischen Räumen definieren. Nur heißen solche Abbildung hier nicht Isomorphismus, sondern Homöomorphismus.

Homöomorphie unterteilt die Klasse der topologischen Räume in Homöomorphieklassen. Eigenschaften, die entweder für eine ganze Homöomorphieklasse gelten oder nicht gelten heißen topologische Eigenschaften.