Mathematik: Topologie: Quotiententopologie

Wie bei der Produkttopologie konstruiert man die Quotiententopologie so, dass die Projektion auf den Quotientenraum stetig wird, und zwar so, dass man sich an der Grenze zur Nichtstetigkeit befindet. Da für die Stetigkeit Urbilder offener Mengen offen sein müssen, ist Stetigkeit umso leichter zu zeigen, je weniger offene Mengen es im Bildraum gibt. Daher definiert man so viele Mengen wie möglich als offen, ohne dass die Stetigkeit der Projektion aufgegeben werden muss.

Die Urbilder einer Menge im Quotientenraum sind sogenannte gesättigte Mengen in X. Gesättigte Mengen sind Vereinigungen von Äquivalenzklassen. Damit das Urbild einer Menge offen ist, muss die zugehörige gesättigte Menge also offen in X sein: