Mathematik: Lineare Algebra: Vektorräume: Beispiele von Vektorräumen

Beispiele

AUS w:Vektorraum

Euklidische Ebene

Ein anschaulicher Vektorraum ist die 2-dimensionale Euklidische Ebene ${ℝ}^2$ (in rechtwinkligen kartesischen Koordinaten) mit den Pfeilklassen (Verschiebungen oder Translationen) als Vektoren und den reellen Zahlen als Skalaren.

$\overrightarrow{v}=(2,3)$ ist die Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts und 3 Einheiten nach oben,

$\overrightarrow{w}=(3,-5)$ die Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts und 5 Einheiten nach unten.

Die Summe zweier Verschiebungen ist wieder eine Verschiebung:

$\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}=(5,-2)$, d.h. 5 Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach unten.

Der Nullvektor $\overrightarrow{0}=(0,0)$ entspricht keiner Verschiebung, d. h. der identischen Abbildung.

Durch die Streckung der Verschiebung $\overrightarrow{v}$ mit einem Skalar $a=3$ aus der Menge der reellen Zahlen erhalten wir das Dreifache der Verschiebung:

$a*\overrightarrow{v}=3*(2,3)=(6,9)$.

Alles zu diesem Beispiel Gesagte gilt schon in der reellen affinen Ebene. Längen und Winkel kamen ja gar nicht vor, und das Koordinatensystem konnte ebensogut schiefwinklig sein.

Raum der affinen Funktionen

Ein anderer Vektorraum ist der Raum der affinen Funktionen auf den reellen Zahlen. Dies sind die Funktionen der Form

$f:ℝ\to ℝ,x\mapsto a\cdot x+b$

mit reellen Zahlen $a$ und $b$. Anschaulich gesprochen sind dies alle Funktionen, deren Graph eine Gerade ist. In dieser Anschauung erzeugt unser Raum alle Geraden bis auf die genau senkrecht stehenden. Wählen wir beispielhaft zwei affine Funktionen

$f(x)=2x+3$ , $g(x)=3x-5$,

so sehen wir, wie deren Summe wieder eine affine Funktion ergibt:

$f(x)+g(x)=2x+3+3x-5=(2+3)x+(3-5)=5x-2$

Der Nullvektor ist die konstante Funktion

$0=0x+0$, die alle Punkte auf die Null abbildet.

Mit einem Skalar $c=3$ aus der Menge der reellen Zahlen ergibt die Skalarmultiplikation

$c*f(x)=3\cdot (2x+3)=(3\cdot 2)x+(3\cdot 3)=6x+9$.

Vektorraum der Polynome

Die Polynome mit Koeffizienten aus einem Körper bilden, mit der üblichen Addition und der Multiplikation mit einem Element des Körpers, einen unendlich-dimensionalen Vektorraum. Für die Polynome, deren Grad durch ein $N\in \mathbb{N}$ nach oben beschränkt ist, hat der resultierende Vektorraum die Dimension $N+1$. Beispielsweise ist die Menge aller Polynome vom Grad kleiner gleich 4

$a+b\cdot x+c\cdot x^2+d\cdot x^3+e\cdot x^4$

ein Vektorraum der Dimension 5. Eine Basis bilden die Monome $\{1,x,x^2,x^3,x^4\}$.

Körper als Vektorraum

Man kann einen Körper "K" auch als Vektorraum über sich selbst auffassen in dem man $K\times K\to K,(x,y)\mapsto x*y$ wählt.

Und das lässt sich noch weiter ausdehnen in dem man $K^n$ als Vektorraum über "K" sieht in dem man $K\times K^n\to K^n,(x,y)\mapsto \left(\begin{array}{c}x*y_1\\ x*y_2\\ ⋮\\ x*y_n\end{array}\right)$ wählt.

Letzteres wird uns später noch oft beschäftigen.

Spezielle Vektorräume

Euklidischer Vektorraum

Ein w:euklidischer Vektorraum ist ein reeller Vektorraum mit positiv definitem Skalarprodukt. Er ist ein Spezialfall eines w:Prähilbertraums und auch Spezialfall eines w:Hilbertraums.

Funktionenraum

Ein w:Funktionenraum ist ein Vektorraum, dessen Elemente Funktionen sind. Funktionenräume sind Betrachtungsgegenstand der w:Funktionalanalysis und meist unendlichdimensional.

Normierter Raum

Ein w:normierter Raum ist ein Vektorraum, in dem Vektoren eine Länge (Norm) besitzen. Diese ist eine nichtnegative reelle Zahl und erfüllt die Dreiecksungleichung.

Prähilbertraum

Ein Prähilbertraum ist ein reeller oder komplexer Vektorraum, auf dem ein inneres Produkt (w:Skalarprodukt oder w:hermitesche Form) definiert ist. In einem solchen Raum kann man Begriffe wie Länge und Winkel definieren.

Topologischer Vektorraum

Ein w:topologischer Vektorraum über einem topologischen Körper $K$ ist ein topologischer Raum $V$ mit einer kompatiblen $K$-Vektorraumstruktur, d. h. die Vektorraumoperationen $+:V\times V\to V$ und $*:K\times V\to V$ sind stetig.

Unitärer Vektorraum

Ein w:unitärer Vektorraum ist ein Vektorraum mit positiv definiter hermitescher Form. Er ist ein Spezialfall des Prähilbertraums.

In einem metrischen Raum ist das analytische Konzept der Konvergenz anwendbar; ein metrischer Raum, in dem jede w:Cauchy-Folge konvergiert, heißt vollständig. Ein vollständiger normierter Vektorraum heißt w:Banach-Raum, ein vollständiger Prähilbertraum heißt w:Hilbert-Raum.

Ein Tangentialraum enthält die lokale Vektorraumstruktur einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit.

Aus einem Vektorraum und einem Untervektorraum kann man durch Bildung von Äquivalenzklassen einen weiteren Vektorraum, den Quotientenraum oder Faktorraum, bilden.