Mathematik: Lineare Algebra: Struktur von Vektorräumen: Basen

Allgemeine Definition

Sei $V$ ein Vektorraum über dem Grundkörper $K$. Eine Teilmenge $B\subset V$ heißt Basis des Vektorraums $V$, falls $B$ die folgenden Eigenschaften besitzt:

1. $B$ ist linear unabhängig, d.h. für jeweils endlich viele Elemente $v_1,...,v_n\in B$ und $a_1,...,a_n\in K$ gilt die Äquivalenz: $\sum _{k=1}^n{a}_k{v}_k=0\iff a_k=0$ für alle $1\le k\le n.$

2. Ist $w\in V\setminus B$, dann ist $B\cup \{w\}$ linear abhängig, d.h. es existieren $v_1,...,v_n\in B$ sowie Koeffizienten $a_0,a_1,...,a_n\in K$, die nicht alle den Wert $0$ haben dürfen, mit $a_{0}w+\sum _{k=1}^n{a}_k{v}_k=0$.

Satz: Jeder $K$-Vektorraum $V$ besitzt eine Basis!

Beweis (Mit dem Lemma von Kuratowski-Zorn):

Wir betrachten dazu die Menge $𝔐$ der linear unabhängigen Teilmengen $T\subset V$ mit der Halbordnung $\subseteq$. Als Teilmenge der Potenzmenge $𝔓(V)$ ist $𝔐$ eine Menge. Da die leere Menge linear unabhängig ist, existiert für jeden Vektorraum $V$ mindestens ein solches $T$, d.h. $𝔐\ne \mathrm{\varnothing }$.

Ist nun $K$ eine Kette in $𝔐$ bezüglich $\subseteq$, setzen wir $B:=\bigcup _{T\in K}T$ und erhalten wiederum eine linear unabhängige Teilmenge von $V$, da für endlich viele $v_1,...,v_n\in B$ gilt:

Zu jedem Index $1\le k\le n$ existiert ein $T_k\in K$ mit $v_k\in T_k$ und daher $\{v_1,...,v_n\}\subset \bigcup _{k=1}^n{T}_k$. Da aber $K$ eine Kette (total geordnet) ist, existiert dann ein Index $k_0\in \{1,2,...,n\}$ mit $\bigcup _{k=1}^n{T}_k=T_{k_0}$, also $\{v_1,...,v_n\}\subset T_{k_0}$ und damit ist $\{v_1,...,v_n\}\subset V$ linear unabhängig.

Damit ist gezeigt, daß $B\in 𝔐$ und offensichtlich ist $T\subseteq B$ für alle $T\in K$, also ist $B$ eine obere Schranke für $K$. Nach dem erwähnten Lemma von Zorn bzw. Kuratowski folgt die Existenz eines maximalen Elementes $M\in 𝔐$, d.h. einer linear unabhängigen Teilmenge von $V$, die keine Erweiterung im Sinne von 2. möglich ist. Damit ist $M$ eine Basis von $V$. Q.E.D.