Mathematik: Lineare Algebra: Lineare Gleichungssysteme: Matrizenrechnung

Einführung in die Matrizen-Rechnung

Matrizen werden in einigen Bundesländern noch in der Schule behandelt, in anderen nicht, werden aber in vielen Fächern in der Uni vorausgesetzt. Daher soll hier nochmal erläutert werden, wie sie entstehen bzw. was ihr Nutzen ist.

Im Grunde sollte die Matrix für die wenigsten ein komplett neues Phänomen darstellen. Nehmen wir folgendes Beispiel: Es soll für die drei Gleichungen eine Lösung gesucht werden:

$z=2y+4x+3$

$3z=4y+1x-1$

$2z=7y-3x+4$

Ein solches Gleichungssystem (mit zwei oder drei Gleichungen) kennt man aus der Schule, wo man angefangen hat, dieses nach dem Gaußschen Algorithmus durch stückweises Eliminieren der Unbekannten zu lösen. Aber das dauert lange und ist umständlich; gerade dann, wenn es mehr Gleichungen werden! Daher vereinfacht man und schreibt ohne die (sich ohnehin nicht verändernden)

$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 4& 3\\ 3& 4& 1& -1\\ 2& 7& -3& 4\end{array}\right)$

Und schon haben wir eine Matrix! Allgemein schreibt man also:

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)=(a_{ik})$

Definition: Eine reelle $m\times n$-Matrix ist ein rechteckiges Schema von reellen Zahlen.

Dabei kommt die Numerierung wie folgt zustande:

Der erste Index i numeriert die Zeilen, der zweite Index k die Spalten der Matrix. Das Element $a_{ik}$ ist somit der Wert in der i-ten Zeile und der k-ten Spalte.

Eine $n\times n$-Matrix heißt quadratisch. Die quadratische Matrix

$I=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \dots & 0\\ 0& 1& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & 1\end{array}\right)=({\delta }_{ik}{)}_{1\le i,k\le n}$

heißt Einheitsmatrix der Größe n.

Operationen mit Matrizen

Operationen mit Matrizen sind, wenn man ihre Grundstruktur bzw. ihr Zustandekommen verstanden hat, meist sehr leicht nachzuvollziehen und meist auch mit denen von Vektoren zu vergleichen.

Operationen innerhalb einer Matrix

Wie bereits oben gezeigt, kann man eine Matrix als die Vereinfachung eines Gaußschen Algorithmus bezeichnen, das heißt, sie folgt auch den selben Regeln:

Lösungen entwickeln

Ziel von Operationen innerhalb einer Matrix ist meist, ein (oder mehrere) Lösungen für das Gleichungssystem (was sie eigentlich ist) zu finden. Dafür sind unten stehende Operationen erlaubt. Doch auch ein konkretes Ziel ist sinnvoll: Wo will ich eigentlich hin?

Am Ende soll die Matrix wie folgt aussehen:

$A=\left(\begin{array}{ccccc}1& a& b& c& d\\ 0& 1& e& f& g\\ 0& 0& 1& h& i\end{array}\right)$

Die Lösung ist nun also:

$x_1=a{x}_2+b{x}_2+c{x}_3+d$

$x_2=e{x}_3+f{x}_4+g$

$x_3=h{x}_4+i$

Beispiel: (hier werden nun die unten beschriebenen Operationen ohne weitere Erklärung angewandt:

$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 3\\ -1& 4& 1& -1\\ 2& 7& -3& 4\end{array}\right)$ $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 3\\ 0& 6& 4& 2\\ 0& 3& 3& 2\end{array}\right)$ $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 3\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& -1& -1\end{array}\right)$ $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 3\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

Fertig.

Aufaddieren von Zeilen

Eine der wichtigsten Operationen ist das Addieren einer Zeile auf eine andere.

Dabei werden die jeweiligen Spalten getrennt voneinander betrachtet. Ist der ursprüngliche Vektor also

$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 3\\ -1& 4& 1& -1\\ 2& 7& -3& 4\end{array}\right)$

und man will die erste Zeile auf die zweite addieren, so erhält man folgendes Ergebnis:

$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 3\\ 0& 6& 4& 2\\ 2& 7& -3& 4\end{array}\right)$

.

Vertauschen von Zeilen

Ganze Zeilen können in Matrizen ohne weiteres vertauscht, also nach oben bzw. unten verschoben werden. Dies ist immerwieder mal sinnvoll, um die gewünschte Form schneller zu erreichen (wenn z.B. eine Zeile, die nicht die erste ist, mit einer 1 beginnt, kann sie nach ganz oben verschoben werden).

Multiplikation mit Skalaren

Ebenfalls die Multiplikation ist ein wichtiger Operator: So können einzelne Zeilen mit einem Skalar (einer Zahl) multipliziert werden, ohne dass dies andere Zeilen betrifft. In dem bereits oben genannten Beispiel ist es sinnvoll, die oberste Reihe mit (-2) zu multiplizieren, um durch Addition auf die unterste Zeile eine Null am Anfang zu erhalten:

$A=\left(\begin{array}{cccc}-2& -4& -6& -6\\ 0& 6& 4& 2\\ 2& 7& -3& 4\end{array}\right)$

. Anschließend multipliziert man mit $-\frac{1}{2}$, um die Reihe in ihre Ursprungsform zu bekommen.

Operationen mit anderen 'Elementen'

Addition

Definition: Die Summe von zwei $m\times n$-Matrizen A und B ist definiert durch:

$A+B=(a_{ik})+(b_{ik})\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}(a_{ik}+b_{ik})$

Multiplikation

Multiplikation mit einem Skalar

Definition: Das Produkt einer Matrix A mit einer reellen Zahl $\lambda$ wird wie folgt definiert:

$\lambda A=\lambda (a_{ik})\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}(\lambda a_{ik})$

Spezielle Matrizen

quadratische Matrix

Die Definition von quadratischen Matrizen wurde bereits oben angesprochen; es sind also Matrizen, deren Zeilenrang dem Spaltenrang entspricht (${ℝ}^{n\times n}$). Sie haben in der Praxis eine ganz besondere Stellung, da sich letztendlich jede Matrix auf eine quadratische Matrix reduzieren lässt. Mehr dazu siehe Anwendungen auf LGS

Zeilenmatrix/Spaltenmatrix

Ein n-Tupel kann als eine Zeilenmatrix (d.h. eine $1\times n$-Matrix) bzw. Spaltenmatrix (eine $n\times 1$-Matrix) angesehen werden. Diese sind als (Spalten- bzw. Zeilen-)Vektoren bekannt. Daher ist der Vektor als Spezialform der Matrix zu sehen.

Kronecker-Delta

Das Kronecker-Delta ${\delta }_{ik}$ ist dabei folgendermaßen definiert:

${\delta }_{ik}=\{\begin{array}{cc}1& \text{falls }i=k\\ 0& \text{sonst}\end{array}$

Aber Achtung: Das Kronecker-Delta ist nicht die Einheitsmatrix, die hat man nur, wenn man es wie oben in Klammern schreibt.