Mathematik: Lineare Algebra: Lineare Gleichungssysteme: Definition

Was ist ein lineares Gleichungssystem (LGS) ?

Eine Gleichung der Form

$a_1\cdot x_1+a_2\cdot x_2+\dots +a_n\cdot x_n=b$

heißt lineare Gleichung mit $n$ Unbekannten $x_i(i=1,2,3,\dots ,n)$. Linear ist die Gleichung, weil die $x_i$ nur linear (d.h. in der ersten Potenz) vorkommen. Die Koeffizienten $a_i$ und $b$ sind reelle (oder auch komplexe) Zahlen.

Oft führt die mathematische Lösung eines Problems auf mehrere derartiger Gleichungen. Betrachten wir dazu folgendes Beispiel:

Man kann

$x_1+x_2+3\cdot x_3=1$
als parameterfreie Darstellung einer Ebene im ${ℝ}^3$ lesen. Ebenso sind

$2\cdot x_1+3\cdot x_2+3\cdot x_3=4$ und

$4\cdot x_1+6\cdot x_2+3\cdot x_3=2$

zwei weitere Ebenen. Drei Ebenen können sich in einem (gemeinsamen) Punkt $S$ schneiden. Da dieser Punkt auf allen drei Ebenen liegt, müssen seine Koordinaten alle drei Gleichungen simultan erfüllen.

Im Allgemeinen sind nun mehrere (lineare) Gleichungen (etwa $m$ der Anzahl nach) aufgestellt worden, die jeweils $n$ Unbekannte $x_i$ enthalten. Ein solches Gleichungssystem aus $m$ linearen Gleichungen mit jeweils $n$ Unbekannten nennt man ein lineares Gleichungsystem, kurz LGS.

Das Gleichungssystem unseres Beispiels mit $m=n=3$ lässt sich nun wie folgt darstellen:

$\begin{array}{ccccccc}{x}_1& +& x_2& +& 3\cdot x_3& =& 1\\ 2\cdot x_1& +& 3\cdot x_2& +& 3\cdot x_3& =& 4\\ 4\cdot x_1& +& 6\cdot x_2& +& 3\cdot x_3& =& 2\end{array}$

Allgemein lässt sich ein lineares Gleichungssystem mit $m$ Gleichungen und $n$ Unbekannten wie folgt definieren:

Definition

Es sei $K$ ein Körper und $a_{ij}\in K$ für $1\le i\le m$ und $1\le j\le n$. Dann nennt man

$\begin{array}{ccccccccc}{a}_{11}{x}_1& +& a_{12}{x}_2& +& \dots & +& a_{1n}{x}_n& =& 0\\ a_{21}{x}_1& +& a_{22}{x}_2& +& \dots & +& a_{2n}{x}_n& =& 0\\ ⋮& & ⋮& & & & ⋮& & ⋮\\ a_{m1}{x}_1& +& a_{m2}{x}_2& +& \dots & +& a_{mn}{x}_n& =& 0\end{array}$

ein homogenes lineares Gleichungssystem in den Variablen $x_1,\dots ,x_n$. Ein Tupel $({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)\in K^n$ heißt Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems, wenn $\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{\xi }_j=0$ ist für alle $i=1,\dots ,m$.

Wenn $(b_1,\dots ,b_m)\in K^m$ beliebig ist, so heißt

$\begin{array}{ccccccccc}{a}_{11}{x}_1& +& a_{12}{x}_2& +& \dots & +& a_{1n}{x}_n& =& b_1\\ a_{21}{x}_1& +& a_{22}{x}_2& +& \dots & +& a_{2n}{x}_n& =& b_2\\ ⋮& & ⋮& & & & ⋮& & ⋮\\ a_{m1}{x}_1& +& a_{m2}{x}_2& +& \dots & +& a_{mn}{x}_n& =& b_m\end{array}$

ein inhomogenes lineares Gleichungssystem und ein Tupel $({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)\in K^n$ heißt Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems, wenn $\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{\xi }_j=b_i$ für alle $i=1,\dots ,m$.

Ein homogenes lineares Gleichungssystem besitzt immer die sogenannte triviale Lösung $0=(0,\dots ,0)$. Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem braucht nicht notwendigerweise eine Lösung zu haben.