Mathematik: Lineare Algebra: Lineare Abbildungen: Matrizen und lineare Abbildungen

Es seien $K$ ein Körper, $m,n\in \mathbb{N},M\in K^{m\times n}$ eine Matrix und $f:K^n\to K^m$ eine lineare Abbildung.

Dann gilt: Wenn $f$ vorgegeben ist, ist $M$ so wählbar, dass für alle $v\in K^n$ gilt: $Mv=f(v)$.

Umgekehrt gilt: Ist $M$ fest vorgegeben, so gibt es ein $f$ derart, dass ebenso gilt: $Mv=f(v)$.

Das bedeutet, dass jede lineare Abbildung im Endlichdimensionalen durch eine Matrix dargestellt werden kann und jede Matrix eine lineare Abbildung darstellt.