Mathematik: Lineare Algebra: Grundlagen: Relationen

Relation

Eine Relation $R$ zwischen zwei Mengen $A$ und $B$ ist eine Teilmenge des kartesischen Produktes $A\times B$, also $R\subseteq A\times B$. Für $(x,y)\in R$ schreibt man auch kurz $xRy$ (und sagt: „$x$ steht in der Relation $R$ zu $y$.“). Oft werden Relationen mit Symbolen wie $\sim ,\simeq ,\approx ,<$ und $\ge$ bezeichnet.

Beispiele

• $\sim :=\{(x,y)\in {\mathbb{Z}}^2|10>|x-y|\}$. Dann gilt beispielsweise: $2\sim ̸12,1\sim ̸15,5\sim 5$
• $\sim :=\{(x,y)\in {\mathbb{Z}}^2|(x-y)\equiv 0modx\}$. Für $x=3$ gilt dann: $2\sim 5,3\sim 9,4\sim 4,7\sim ̸11$
• $\sim :=\{(x,y)\in {ℝ}^2|\mathrm{\exists }n\in ℝ:x^n=y\}$. Dann gilt $2\sim 4\sim 16\sim \sqrt{2},5\sim 5\sim 625,4\sim ̸8$

Definition

Seien $A$ und $B$ Mengen, $A\times B$ ihr kartesisches Produkt und $E(x,y)$ eine Aussageform zweier Variablen aus $A$ und $B$. Die Menge $R=\{(x,y)\in A\times B\mid E(x,y)\}$ heißt Relation. Für $(x,y)\in R$ schreibt man auch $xRy$ und sagt: "$x$ steht in der Relation $R$ zu $y$".

Äquivalenzrelation

Sei $\sim$ eine Relation auf einer Menge $A$. Man nennt $\sim$ Äquivalenzrelation, falls für alle $a,b,c\in A$ gilt:

• $a\sim a$ (Reflexivität)
• $a\sim b\Rightarrow b\sim a$ (Symmetrie)
• $a\sim b\wedge b\sim c\Rightarrow a\sim c$ (Transitivität)

Mit $[a]:=\{b\in A|a\sim b\}$ bezeichnen wir die Äquivialenzklasse eines Elements $a\in b$. Die Äquivalenzklassen bilden eine Partition von $A$, das heißt, sind $a,b\in A$, so gilt $[a]=[b]$ oder $[a]\cap [b]=\mathrm{\varnothing }$. Wir bezeichnen mit $A/\sim :=\{[a]|a\in A\}$ die Menge aller Äquivalenzklassen der Relation.