Mathematik: Lineare Algebra: Grundlagen: Gruppen, Ringe und Körper

Operationen, Halbgruppen und Gruppen

Operationen

Definition

Eine Operation oder (zweistellige) innere Verknüpfung $(M,\circ )$ bezeichnet man eine Menge $M$ mit der Abbildung $\circ :M\times M\to M$ mit $M^2\ni (x,y)\mapsto \circ (x,y)=:x\circ y\in M$.

Operationen auf endlichen Mengen, z. B. $M=(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ lassen sich durch so genannte Verknüpfungstabellen darstellen. Es gilt $a_{i,j}:=a_i\circ a_j$ für $i,j\in \{0,1,\dots ,n\}$.

$\circ$	$a_1$	$a_2$	$a_3$	$\dots$	$a_{n-1}$	$a_n$
$a_1$	$a_{11}$	$a_{12}$	$a_{13}$	$\dots$	$a_{1n-1}$	$a_{1n}$
$a_2$	$a_{21}$	$a_{22}$	$a_{23}$	$\dots$	$a_{2n-1}$	$a_{2n}$
$a_3$	$a_{31}$	$a_{32}$	$a_{33}$	$\dots$	$a_{3n-1}$	$a_{3n}$
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$\ddots$	$⋮$	$⋮$
$a_{n-1}$	$a_{n-11}$	$a_{n-12}$	$a_{n-13}$	$\dots$	$a_{n-1n-1}$	$a_{n-1n}$
$a_n$	$a_{n1}$	$a_{n2}$	$a_{n3}$	$\dots$	$a_{nn-1}$	$a_{nn}$

Beispiele

• Die Menge der natürlichen Zahlen mit der Addition $(\mathbb{N},+)$.
• Die logische Operation $(\{w,f\},𝐀𝐍𝐃)$:

$𝐀𝐍𝐃$	$w$	$f$
$w$	$w$	$f$
$f$	$f$	$f$

• $(\{x,y,z\},\circ )$

$\circ$	$x$	$y$	$z$
$x$	$x$	$z$	$x$
$y$	$y$	$z$	$y$
$z$	$y$	$x$	$x$

Halbgruppen

Definition

Eine Halbgruppe ist eine zweistellige innere Verknüpfung, bei der das Assoziativgesetz gilt. Folglich muss gelten:

• $(M,\circ )$ ist eine zweistellige Operation
• $\mathrm{\forall }a,b,c\in M:(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)=:a\circ b\circ c$

Beispiele hierfür sind wieder wie oben $(\mathbb{N},+)$ und $(\{w,f\},𝐀𝐍𝐃)$, jedoch nicht das dritte Beispiel.

Monoide

Definition

Ein Monoid ist eine Halbgruppe, in dem ein neutrales Element existiert. Dieses nennen wir $e$.

$\mathrm{\forall }a\in M:a\circ e=e\circ a=a$

Es reicht allerdings anzunehmen, dass sowohl ein rechtsneutrales Element $e_r$ (für dass $a\circ e=a\mathrm{\forall }a\in M$ gilt) und ein linksneutrales Element $e_l$ (für das $e\circ a=a\mathrm{\forall }a\in M$ gilt) existiert, denn aus $e_l=e_l\circ e_r=e_r$ folgt, dass diese gleich sein müssen. Wenn es zwei neutrale Elemente $e_1,e_2$ gäbe, folgt aus $e_1=e_1\circ e_2=e_2$, dass diese gleich sind.

Gruppen

Definition

Eine Menge $G$ mit einem ausgezeichneten Element $e\in G$ und einer Verknüpfung

$G\times G\to G,(a,b)\mapsto a\circ b$

heißt Gruppe wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind :

1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle $a,b,c\in G$ gilt
   $(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$
2. Das Element e ist ein neutrales Element, d.h. für alle $a\in G$ gilt
   $a\circ e=a=e\circ a$
3. Zu jedem $a\in G$ gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein $c\in G$ mit
   $a\circ c=c\circ a=e$

Eine Gruppe heißt abelsch oder kommutativ, falls die Operation kommutativ ist, d.h. es muss gelten

$\mathrm{\forall }a,b\in M:a\circ b=b\circ a$

Beispiel

• Zeige , dass $(\mathbb{Z},0,+)$ eine kommutative Gruppe ist.

Seien $z_1,z_2,z_3\in \mathbb{Z}$ beliebig, dann gilt :

1. assoziativ : $(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$
2. neutrales Element : $z_3+0=0+z_3=z_3$
3. inverses Element : $z_3+(-z_3)=(-z_3)+z_3=0$
4. kommutativ : $z_2+z_3=z_3+z_2$

Zur Übung zeige man, dass $(ℝ,0,+)$ und $(ℝ\mathrm{\setminus }\mathbb{\{}\mathrm{𝟘}\mathbb{\}},1,\cdot )$ kommutative Gruppen sind.

Ringe

Definition

Eine Menge $R$ heißt ein Ring, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

$+:R\times R\to R$ und $\cdot :R\times R\to R$

und (nicht notwendigerweise verschiedene) Elemente $0,1\in R$ gibt, die folgende Eigenschaften erfüllen:

1. Axiome der Addition

1. Assoziativgesetz: für alle $a,b,c\in R$ gilt: $(a+b)+c=a+(b+c)$
2. Kommutativgesetz: für alle $a,b\in R$ gilt: $a+b=b+a$
3. Das neutrale Element der Addition ist $0$, d.h. für alle $a\in R$ ist $a+0=a$
4. Existenz des Negativen: zu jedem $a\in R$ gibt es ein $b\in R$ mit $a+b=0$.

2. Axiome der Multiplikation

1. Assoziativgesetz: für alle $a,b,c\in R$ gilt: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
2. Das neutrale Element der Multiplikation ist $1$, d.h. für alle $a\in R$ ist $a\cdot 1=1\cdot a=a$

3. Distributivgesetz: für alle $a,b,c\in R$ gilt: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ und $(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a$

Körper

Definition

Ein kommutativer Ring $R$ heißt Körper, wenn $R\ne 0$ ist und wenn jedes von $0$ verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.

Ist also $K$ eine Menge und gibt es zwei Verknüpfungen $\oplus$ und $\odot$ so führt dies auf eine gleichartige Festlegung.

Definition

Ein Körper $(K,\oplus ,\odot )$ muss folgende Bedingungen erfüllen:

• $(K,\oplus )$ ist eine abelsche Gruppe (mit neutralem Element 0)
• $(K\setminus \{0\},\odot )$ ist eine abelsche Gruppe (mit neutralem Element 1 ungleich 0)
• Es gilt das Distributivgesetz: $\mathrm{\forall }a,b,c\in K:(a\oplus b)\odot c=(a\odot c)\oplus (b\odot c)$