Mathematik: Lineare Algebra: Grundlagen: Abbildungen

Abbildung (Funktion)

Eine Abbildung (oder Funktion) ist eine Vorschrift, die jedem Element einer Definitionsmenge (auch Definitionsbereich) genau ein Element einer Wertemenge (auch Zielmenge oder Bildbereich) zuweist. Im normalen Sprachgebrauch würde man eine Abbildung auch eine Zuordnung nennen, denn es werden den Elementen der Definitionsmenge jeweils ein Element der Wertemenge zugeordnet.

Man schreibt:

• $f:X\to Y$ (bedeutet: $f$ ist eine Funktion, die Definitionsmenge von $f$ ist $X$ und die Wertemenge von $f$ ist $Y$)
• $f:x\mapsto y$ oder $f(x)=y$ (bedeutet: Die Funktion $f$ bildet $x$ auf $y$ ab).

Ein Element $y=f(x)\in Y$ heißt hierbei Bild unter $f$. Die Menge derjenigen $x\in X$, die auf $y$ abgebildet werden, heißt das Urbild von $y$.

Wenn $f:X\to Y$ gilt, definiert man für eine Untermenge $Z\subseteq X$ $f(Z):=\{y\in Y|\mathrm{\exists }z\in Z:f(z)=y\}$

Eigenschaften von Funktionen

Injektivität

Surjektivität

Bijektivität

Sei $f:X\to Y$ eine Abbildung. Dann nennt man $f$ :

• injektiv, falls für $x_1,x_2\in X$ gilt, dass $f(x_1)=f(x_2)$ immer $x_1=x_2$ impliziert. Äquivalent dazu ist $x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$.
• surjektiv, falls es zu jedem $y\in Y$ mindestens ein $x\in X$ gibt, für das $f(x)=y$ gilt.
• bijektiv, falls $f$ sowohl injektiv, als auch surjektiv ist.

Anschaulicher formuliert bedeutet dies, dass jedes $y\in Y$

• für injektives $f$ höchstens ein Element
• für surjektives $f$ mindestens ein Element
• für bijektive Abbildungen genau ein Element

in seinem Urbild besitzt.

Restriktion (oder Einschränkung) und Fortsetzung

Haben zwei Abbildungen $f:A\to B$ und $g:A^{\prime }\to B$ mit $A^{\prime }\subset A$ dieselbe Funktionsvorschrift, ist also $f(x)=g(x)$ für alle $x\in A^{\prime }$, so nennt man $g$ die Restriktion (oder Einschränkung) von $f$ auf $A^{\prime }$ und schreibt $g=f{|}_{A^{\prime }}$. Andererseits ist $f$ eine Fortsetzung von $g$ auf $A$.

Urbildbereich/Inverse Funktionen

Wenn $f:A\to B$ eine Funktion ist, definiert man $f^{-1}:𝒫(B)\to 𝒫(A)$ wobei für $B^{\prime }\subseteq B$ $f^{-1}(B^{\prime })=\{a\in A|\mathrm{\exists }{b}^{\prime }\in B^{\prime },f(a)=b^{\prime }\}$. Dies bezeichnet man als den Urbildbereich von $B$. Wenn $B^{\prime }=\{b^{\prime }\}$ gilt, $B$ also nur aus einem Element besteht, schreibt man statt $f^{-1}(\{b^{\prime }\})$ auch $f^{-1}(b^{\prime })$. Hierbei muss man beachten, dass $f^{-1}$ im allgemeinen eine Menge erzeugt, die auch (wenn die Funktion nicht surjektiv ist) leer sein kann. Nur wenn $f$ bijektiv ist, ist $f^{-1}$ auch eine bijektive Funktion $f^{-1}:B\to A$.

Beispiele

• Die Identität $i{d}_X:X\to X,x\mapsto x$ ist eine bijektive Abbildung.
• Die Funktion $f_0:x\mapsto x+1$ ist von $\mathbb{Z}\to \mathbb{Z},\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}ℝ\to ℝ$ eine bijektive Abbildung. $f_0{|}_{\mathbb{N}}$ ist dagegen nur injektiv.
• $f_1:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z},x\mapsto 2x$ ist injektiv, jedoch nicht surjektiv, da etwa $1=2x$ in den ganzen Zahlen keine Lösung besitzt, also kein Urbild zu $1\in \mathbb{Z}$ existiert.
• $f_2:\mathbb{N}\to \{0,1\},x\mapsto \{\begin{array}{cc}0& \mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{s}\mathrm{x}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{e}\\ 1& \mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{s}\mathrm{x}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{e}\end{array}$ ist surjektiv, jedoch nicht injektiv, denn $f_2(2)=f_2(4)=0$.
• $f_3:ℝ\to ℝ,x\mapsto x^2$ ist weder injektiv, denn $f_3(1)=f_3(-1)=1$, noch surjektiv, denn zu $-1\in ℝ$ kein reelles $x$ existiert, so dass $f_3(x)=-1$.

Permutationen

Eine bijektive Selbstabbildung einer endlichen Menge bezeichnet man als Permutation von A.

Zwei Abbildungen $f:X\to Y$ und $f^{\prime }:X^{\prime }\to Y^{\prime }$ heißen gleich, wenn $X=X^{\prime }$, $Y=Y^{\prime }$ und $f(x)=f^{\prime }(x)$ für alle $x\in X$ gilt.