Mathematik: Analysis: Reelle Zahlen

Reelle Zahlen

Einleitung

Im letzten Kapitel wurden die rationalen Zahlen definiert. Auf diese lassen sich bereits die vier Grundrechenarten anwenden.

Leider bleiben viele mathematische Wünsche offen. So lässt sich beispielsweise die simple Gleichung $x^2=2$ in $\mathbb{Q}$ nicht lösen.

Dies kann man durch einen indirekten Beweis leicht zeigen:

Beweis

Angenommen, es existieren $p,q\in \mathbb{N},$ so dass ${\left(\frac{p}{q}\right)}^2=2,$ anders formuliert: Nach Annahme soll zu $x^2=2$ eine Lösung $\frac{p}{q}\in \mathbb{Q}$ existieren. (Dann wäre auch $\frac{-p}{q}$ eine weitere Lösung wegen ${\left(\frac{-p}{q}\right)}^2={\left(\frac{p}{q}\right)}^2$. Man darf sich also auf die Frage nach der Existenz einer positiven Lösung beschränken.) Weiter darf man annehmen, dass $p$ und $q$ nicht beide zugleich gerade Zahlen sind, da man anderenfalls den gemeinsamen Faktor $2$ herauskürzen könnte.

Wegen $x^2=2$ folgt:   $p^2=2\cdot q^2$

Also ist $p^2$ eine gerade Zahl. Dann ist aber auch $p$ eine gerade Zahl (Auch die Behauptung: $p^2$ ist gerade natürliche Zahl ⇒ $p$ ist gerade natürliche Zahl lässt sich leicht indirekt beweisen.) Es gibt also ein $p_1\in \mathbb{N}$ mit $p=2\cdot p_1$. Weiter folgt:

    $(2\cdot p_1{)}^2=2\cdot q^2$

    $2\cdot (p_1{)}^2=q^2$.

Dies bedeutet aber gerade, dass auch $q$ eine gerade Zahl ist und widerspricht der eingangs gemachten Annahme, dass $p$ und $q$ nicht beide gerade Zahlen sind. Also muss die Annahme, dass es in $\mathbb{Q}$ eine Lösung für $x^2=2$ gibt, falsch sein.

Der vorstehende Beweis zeigt, dass $x^2=2$ keine Lösung in $\mathbb{Q}$ hat. Bezeichnet man - unabhängig von der Frage der Existenz - eine Lösung von $x^2=2$ mit $\sqrt{2}$ (eine weitere Lösung wäre dann $-\sqrt{2}$), so weiß man bis jetzt nur, dass jedenfalls $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$ gilt.

Ein weiteres, in $\mathbb{Q}$ nicht lösbares Problem sind Berechnung von Umfang und Flächeninhalt eines Kreises. Hierzu ist die irrationale Zahl $\pi$ (Pi) erforderlich. Es wird sich bei der Untersuchung der reellen Zahlen zeigen, dass diese Zahl $\pi$ von ganz anderer "Qualität" als $\sqrt{2}$ ist. Dabei stellt sich heraus, dass die Menge der reellen Zahlen fast nur aus Elementen dieser Qualität besteht und durch diese Elemente überabzählbar wird.

Formal lassen sich die reellen Zahlen beispielsweise über Cauchy-Folgen oder dedekindsche Schnitte definieren. Die Definition über Cauchy-Folgen soll später in diesem Buch gezeigt werden. Sie gehört eigentlich in dieses Kapitel über reelle Zahlen, wird aber auf später verschoben, da die notwendigen "Werkzeuge" für Folgen noch fehlen. Dabei ist aufzupassen, dass keine "Zirkelschlüsse" entstehen. An kritischen Stellen wird darauf hingewiesen.

Mathematik: Analysis: Vorlage: BottomNavi