Mathematik: Analysis: Konvergenz von Reihen

Einleitung

Die Folge der Partialsummen der Reihe sei $(s_n):={\left(\sum _{k=0}^n{a}_k\right)}_{n\in \mathbb{N}}$. Die Reihe heißt genau dann konvergent, wenn $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_n<\mathrm{\infty }$.

Der Grenzwert von $(s_n)$ wird als Summe oder Wert der Reihe bezeichnet: $S=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\sum _{k=0}^n{a}_k\right)=:\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$.

Nicht konvergente Reihen heißen divergent.

Cauchykriterium

Eine Reihe $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ konvergiert dann, wenn die Folge der Partialsummen $(s_n)$ eine Cauchy-Folge ist.

Eine Reihe $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ konvergiert absolut, wenn $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|a_k|$ konvergiert.

Majorantenkriterium

Gegeben sei die Reihe $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$. Die Reihe $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_k$ heißt Majorantenreihe zu $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$, falls $\mathrm{\exists }{k}_0\in \mathbb{N}:\mathrm{\forall }k\ge k_0:\left|a_k\right|\le b_k$. Das heißt, alle außer endlich vielen Elementen $a_k$ müssen kleineren Betrags als $b_k$ sein. Nämlich jene für die gilt $k\ge k_0$.

Wenn eine Majorantenreihe $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_k$ konvergiert, so ist auch die Reihe $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ konvergent.

Beispiele

erstes Beispiel

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n!}{n^n}\le \frac{3}{2}+\sum _{n=3}^{\mathrm{\infty }}\frac{2\cdot n^{n-2}}{n^n}\le 2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}$

$2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}$ ist eine Majorante, von der wir wissen, dass sie konvergiert. Also konvergiert auch $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n!}{n^n}$.

Quotientenkriterium

Eine Reihe $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ konvergiert absolut, wenn $\mathrm{\exists }{k}_0$, so dass $\mathrm{\forall }k>k_0$ gilt: $\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|\le q<1$

Wurzelkriterium

Eine Reihe $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ konvergiert absolut, wenn $\mathrm{\exists }{k}_0$ mit $\mathrm{\forall }k>k_0:\sqrt[k]{\left|a_k\right|}\le q<1$

Leibnizkriterium

Reihen $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\cdot a_k$ mit $a_k\in ℝ$ heißen alternierende Reihen. Sie sind dadurch gekennzeichnet, dass die Summanden abwechselnd positiv und negativ sind.

Sei $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine monoton fallende Folge nicht-negativer Zahlen mit $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a_n)=0$.

Dann konvergiert die Reihe.

Beispiele

${\left(a_k\right)}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}={\left(\frac{(-1{)}^k}{k}\right)}_{k=1}^{\mathrm{\infty }},a_k\cdot a_{k+1}=\frac{(-1{)}^k(-1{)}^{k+1}}{k\cdot (k+1)}=\frac{-1}{k\cdot (k+1)}<0$ (Reihe alterniert)

$b_k=(-1{)}^k\cdot a_k=(-1{)}^k\frac{(-1{)}^k}{k}=\frac{1}{k}$, also ${\left(b_k\right)}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}={\left(\frac{1}{k}\right)}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}\to 0$ (Leibnizkriterium erfüllt, Reihe konvergiert)

Integraltest

Sei $a_k=f(k)$, wobei $f:[1,\mathrm{\infty })\to ℝ$ stetig, monoton abnehmend. Dann gilt:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}f(k)<\mathrm{\infty }\iff \underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)dt<\mathrm{\infty }$

Beispiel

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2}$ konvergiert, da $f(t)=\frac{1}{t^2}$ monoton fallend ist und $\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{t^2}dt=-\frac{1}{t}{|}_1^{\mathrm{\infty }}=1<\mathrm{\infty }$