Mathematik: Analysis: Grundlagen: Rationale Zahlen

Rationale Zahlen

Die Entdeckung der rationalen Zahlen ergab sich aus dem Wunsch, Brüche auch dann darstellen zu können, wenn der Quotient keine ganze Zahl ist. Nicht nur die Zielsetzung für die Konstruktion von $\mathbb{Q}$ aus $\mathbb{Z}$ ist analog zur Konstruktion von $\mathbb{Z}$ aus $\mathbb{N}$, auch eine analoge Vorgehensweise ist möglich, da für Brüche gilt:

$\frac{p_1}{q_1}=\frac{p_2}{q_2}\iff p_1\cdot q_2=p_2\cdot q_1$

Aus diesem Grund werden die Definitionen und Sätze hier ohne weitere Ausführungen angegeben.

Definition der rationalen Zahlen

Definition und Satz

1. Sei $\approx$ eine Relation auf $\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z}\setminus \{0\})$ definiert durch
   
   $\approx :=\{((p_1,q_1),(p_2,q_2))\in (\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z}\setminus \{0\}))\times (\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z}\setminus \{0\}))\mid p_1\cdot q_2=p_2\cdot q_1\}$.
   
   Für zwei Elemente $(p_1,q_1),(p_2,q_2)$ gilt also:
   
   "$(p_1,q_1)\approx (p_2,q_2)$" $\iff$ "$p_1\cdot q_2=p_2\cdot q_1$".
   
   Dann ist $\approx$ eine Äquivalenzrelation.
   
   
2. Die Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation heißen rationale Zahlen, d. h.
   
   $\mathbb{Q}:=\{[(p,q)]\mid$ "$(p,q)\in (\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z}\setminus \{0\}))\times (\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z}\setminus \{0\}))$" und "$(p_1,q_1)\in [(p,q)]\iff p_1\cdot q=p\cdot q_1$" $\}$.
   
   Die Klasse $[(0,1)]$ wird mit "Null" bzw. "0" bezeichnet.

Addition und Multiplikation

Definition und Satz

Seien $a=[(p_1,q_1)]$ und $b=[(p_2,q_2)]$ zwei rationale Zahlen. Auf $\mathbb{Q}$ wird durch

1. $\oplus :\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$
   
   $[(p_1,q_1)]\oplus [(p_2,q_2)]:=[(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1,q_1\cdot q_2)]$
   
   eine Abbildung, die Addition $\oplus$, definiert. Diese Abbildung ist assoziativ und kommutativ.
   
   

1. $\odot :\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$
   
   $[(p_1,q_1)]\odot [(p_2,q_2)]:=[(p_1\cdot p_2,q_1\cdot q_2)]$
   
   eine Abbildung, die Multiplikation $\odot$, definiert. Diese Abbildung ist assoziativ und kommutativ.

Hinweis

Für Addition und Multiplikation wurden die Regeln   $\frac{p_1}{q_1}+\frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1{q}_2+p_2{q}_1}{q_1{q}_2}$   und   $\frac{p_1}{q_1}\cdot \frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1{p}_2}{q_1{q}_2}$   verwendet.

"Einbettung" der ganzen in die rationalen Zahlen

Satz

Die Abbildung

$\sigma :\mathbb{Z}\to \mathbb{Q}$
$\sigma (n):=[(n,1)]$

ist injektiv, additions- und multiplikationserhaltend, d. h. es gilt:

$\sigma (n,m)=\sigma (n)\oplus \sigma (m)$ und
$\sigma (n\cdot m)=\sigma (n)\odot \sigma (m)$.

Hinweis

Hier wurde die Regel   $n=\frac{n}{1}$ verwendet.

Quotienten

Definition und Satz

Sei $p,q\in \mathbb{Q}$. Dann gibt es genau ein $z\in \mathbb{Q}$ mit $q\cdot z=p$.

Dieses $z$ schreibt man auch   $\frac{p}{q}$   und nennt es den Quotienten von $p$ und $q$.

Die rationalen Zahlen lassen sich also als Menge aller Brüche aus ganzen Zahlen darstellen:

$\mathbb{Q}=\{\frac{p}{q}|p\in \mathbb{Z},q\in \mathbb{N}\}$

Der Fall $q=0$ ist per Definition ausgeschlossen.

Mächtigkeit der rationalen Zahlen

Satz

$\mathbb{N}$ und $\mathbb{Q}$ sind gleichmächtig , d. h. $\mathbb{Q}$ ist abzählbar.

Beweis

Eine Beweisidee beruht auf dem Cantorschen Diagonalverfahren. Details hierzu enthält der Wiki-Artikel Cantors erstes Diagonalargument.

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