Mathematik: Analysis: Folgen und Reihen

Folgen

Sei $𝕏$ eine beliebiger normierter Vektorraum, z.B. die Menge der reellen Zahlen. Eine Folge $a=(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ ist eine abzählbare, geordnete Teilmenge von $𝕏$. Man kann sie auch als Abbildung von $\mathbb{N}$ nach $𝕏$ interpretieren (es wird also jeder natürlichen Zahl ein Element aus $𝕏$ zugeordnet). Eine Folge $b=(b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ heißt Teilfolge von a, falls eine streng monoton wachsende Funktion $\phi :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ existiert mit $a_{\phi (n)}=b_n$ für alle $n\in \mathbb{N}$.

Beispiele

Wichtige Beispiele sind

• $a_n:=\frac{1}{n}$. Hier sind die Folgenglieder gegeben durch $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots$
• $a_n:=\frac{1}{n^2}$
• $a_n:=\frac{(-1{)}^n}{n}$

Konvergenz und Beschränktheit

Oft interessiert das Verhalten einer Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}},$ wenn $n$ sehr groß wird. Es kann nämlich der Fall eintreten, dass alle Folgenglieder auf einen bestimmten Punkt $a$ zulaufen. Dieser Punkt $a$ wird dann Grenzwert genannt und man sagt, dass die Folge gegen ihn konvergiert. Das Ganze fassen wir noch einmal formal in der nächsten Definition zusammen.

Definition - Konvergenz

Eine Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ reeller Zahlen heißt konvergent gegen den Grenzwert $a\in ℝ$ genau dann, wenn gilt:

Für jedes $\epsilon \in ℝ$ mit $\epsilon >0$ existiert ein $k\in \mathbb{N}$, so dass für alle $n\in \mathbb{N}:n>k\Rightarrow |a_n-a|<\epsilon .$

In dieser Definition hängt $k$ von $\epsilon$ ab. Je kleiner $\epsilon$ wird, um so größer muss $k$ gewählt werden. Man kann dies auch so formulieren: Eine Folge konvergiert genau dann, wenn in jeder $\epsilon$-Umgebung um den Grenzwert fast alle (bis auf endlich viele Ausnahmen) Folgenglieder liegen.

Konvergiert die Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ gegen den Grenzwert $a$, so schreibt man

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}=a$ oder - wenn $n\to \mathrm{\infty }$ klar ist - kurz $\lim (a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}=a$.

Eine Folge mit dem Grenzwert $0$ nennt man auch Nullfolge. Eine Folge, die nicht konvergiert, heißt divergente Folge.

Beispiele

1. Die konstante Folge $a_n=a$ konvergiert gegen $a$.
   
   
2. Die schon bekannte Folge $a_n=\frac{1}{n}$ ist eine Nullfolge: denn für jedes $\epsilon \in ℝ$ existiert ein $N\in \mathbb{N}$ mit $\frac{1}{N}<\epsilon$. Damit ist
   $|\frac{1}{n}-0|=\frac{1}{n}<\epsilon \mathrm{\forall }n\ge N$.
   Also ist $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}=0$.
   
   
3. Die Folge $a_n:=n$, $n\in \mathbb{N}$, divergiert. Wäre sie konvergent, müsste es nach der Definition der Konvergenz zu $\epsilon =\frac{1}{2}$ ein $N\in \mathbb{N}$ geben, so dass für alle $n\ge N$: $|a_n-a|<\epsilon$.
   Hieraus folgte aber mittels der Dreiecksungleichung
   $1=|a_{n+1}-a_n|=|(a_{n+1}-a)+(a-a_n)|$
   $\le |a_{n+1}-a|+|a-a_n|$
   $<\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$.
   Aus der angenommenen Konvergenz erhielten wir somit die zu 1 = 1 widersprechende Aussage $1<1$. Damit ist die Divergenz der Folge bewiesen.

Satz (Eindeutigkeit des Grenzwertes)

Sei $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge, die sowohl gegen $a$ als auch gegen $b$ konvergiert. Dann gilt $a=b$.

Beweis

Wir schließen indirekt und nehmen $a\ne b$ an. Sei $\epsilon =|a-b|/2$ gewählt. Dann gibt es nach der Definition der Konvergenz zwei natürliche Zahlen $N_1,N_2\in \mathbb{N}$ mit

$|a_n-a|<\epsilon$ für $n\ge N_1$ und $|a_n-b|<\epsilon$ für $n\ge N_2$.

Für $n:=\max (N_1,N_2)$ gilt dann sowohl $|a_n-a|<\epsilon$ als auch $|a_n-b|<\epsilon$. Durch Anwendung der Dreiecksungleichung folgt jetzt

$|a-b|=|a-a_n+a_n-b|\le |a-a_n|+|a_n-b|<2\epsilon =|a-b|$.

Die Aussage $|a-b|<|a-b|$ ist aber falsch. Daher muss auch unsere Annahme falsch gewesen sein. Also gilt $a=b$, wie behauptet.

Definition (Beschränktheit)

Sei $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge reeller Zahlen. $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ heißt nach oben (nach unten) beschränkt, wenn es ein $C\in ℝ$ gibt mit

$a_n\le C$ ($a_n\ge C$) $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$.

$(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ heißt beschränkt, wenn für $0<C\in ℝ$

$|a_n|\le C$.

Eine manchmal hilfreiche Folgerung ist der folgende Satz.

Satz

Jede konvergente Folge ist beschränkt.

Beweis

Sei $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}=a$. Dann gibt es nach Definition zu $\epsilon =1$ ein $N\in \mathbb{N}$ mit

$|a_n-a|<1$ für alle $n\ge N$.

Es folgt

$|a_n|=|a+a_n-a|\le |a|+|a_n-a|<|a|+1$

Also sind alle Folgenglieder ab $a_N$ durch $|a|+1$ beschränkt. Übrig bleibt also zu zeigen, dass die Menge $M:=\{a_i:i<N\}$ beschränkt ist: $M$ enthält aber nur endlich viele Glieder und besitzt damit ein Maximum. Die Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ ist somit durch $\max (M\cup \{|a|+1\})$ beschränkt.

Vorsicht! Die Umkehrung dieses Satzes gilt im Allgemeinen nicht. Man betrachte hierfür nur die Folge $a_n=(-1{)}^n$. Diese ist zwar beschränkt aber sie konvergiert nicht.

Cauchy-Folgen

Definition (Cauchy-Folge)

Eine Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ heißt Cauchy-Folge, falls für alle $\epsilon >0$ ein $N\in \mathbb{N}$ existiert, so dass $|a_n-a_m|<\epsilon$ für alle $n,m\ge N$ gilt.

Satz

Jede konvergente Folge reeller Zahlen ist eine Cauchy-Folge.

Beweis

Sei $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine konvergente Folge. Dann gibt es ein $\epsilon >0$ ein $N\in \mathbb{N}$ mit

$|a_n-a|<\frac{\epsilon }{2}$ für alle $n\ge N$

Daraus folgt mit Hilfe der Dreiecksungleichung

$|a_n-a_m|\le |a_n-a|+|a-a_m|<\epsilon$ für alle $n,m\ge N$.

Teilfolgen

Definition (Teilfolge)

Sei $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge reeller Zahlen und

$n_0<n_1<n_2<\dots$

eine aufsteigende Folge natürlicher Zahlen. Dann heißt

$(a_{n_k}{)}_{k\in \mathbb{N}}$

Teilfolge von $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$.

Man sieht schnell ein, dass bei einer konvergenten Folge ebenfalls alle Teilfolgen konvergieren. Doch wie sieht es bei divergenten Folgen aus? Der folgende Satz von Bolzano-Weierstraß lierfert ein Kriterium, wann eine Teilfolge mit Sicherheit konvergiert.

Satz (Bolzano-Weierstraß)

Jede beschränkte Folge reeller Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge.

Beweis

Sei $M\subset ℝ$ eine beschränkte unendliche Menge. Zu dieser Menge $M$ sei eine Hilfsmenge $H$ wie folgt definiert:

$H:=\{x|x\in ℝ,]-\mathrm{\infty },x[\cap M\text{ ist endlich }\}$.

1. Nachweis der Existenz eines Supremums für die Hilfsmenge $H$

Wenn gezeigt werden kann, dass $H$ eine nichtleere nach oben beschränkte Menge ist, liefert die Eigenschaft der Vollständigkeit die Existenz eines Supremums von $H$.

	$H\ne \mathrm{\varnothing }$	Da die Menge M beschränkt ist, ist sie insbesondere nach unten beschränkt. Sei $u$ eine solche untere Schranke. Dann ist       $]-\mathrm{\infty },u[\cap M=\mathrm{\varnothing }$ Da die leere Menge endlich ist, ist $u$ ein Element von H. Also ist $H$ nicht leer.
	$H$ nach oben beschränkt	Da $M$ beschränkt ist, existiert eine obere Schranke $s$ von $M$. Sei $s_1>s$. Dann ist   $]-\mathrm{\infty },s_1[\cap M=M$ eine unendliche Menge, da $M$ eine unendliche Menge ist. Es folgt $s_1\notin H$. Dann ist aber $s$ aber auch eine obere Schranke von $H$.

Die Vollständigkeit von $ℝ$ liefert die Existenz eines Supremums $s:=supH$.

2. Das Supremum $s:=\sup H$ ist ein Häufungspunkt von $M$

Sei $\epsilon >0$. Zu zeigen ist: $U_{\epsilon }(s)=]s-\epsilon ,s+\epsilon [$ enthält mindestens einen von $s$ verschiedenen Punkt von $M$.

1. Es gibt ein $h\in H$ mit $h\in ]s-\epsilon ,s+\epsilon [$, da sonst $s-\epsilon$ eine obere Schranke von $H$ wäre. Das kann aber nicht sein, da $s$ als kleinste obere Schranke von $H$ definiert wurde. Mit $h\in H$ folgt aus der Definition von $H$, dass es nur endlich viele $x\in M$ geben kann mit $x<h$, denn sonst wäre $H$ nicht endlich.
   
   
2. Andererseits folgt wegen $s+\epsilon$ ($s$ ist $\sup H$ und $\epsilon >0$), dass es unendlich viele $x\in M$ geben muss mit $x<h+\epsilon$.
   
   
3. Aus 1. und 2. folgt, dass es unendlich viele $x\in M$ geben muss mit $h\le x<h+\epsilon$ (denn zieht man von den unendlich vielen $x$ aus 2. die endlich vielen aus 1. ab, so bleiben immer noch unendlich viele $x$ übrig).

Also gibt es unendlich viele $x\in M$ mit $x\in U_{\epsilon }(s)$. Es wäre bereits ausreichend gewesen einen von $s$ verschiedenen Punkt zu finden.

Metrische Räume

Ist $𝕏$ kein normierter sondern ein metrischer Raum, so kann man Folgen genauso definieren und die Begriffe Konvergenz, Beschränktheit etc. äquivalent einführen, indem die Ausdrücke $|a_n-a_0|$ bzw. $|a_n-a_m|$ durch $d(a_n,a_0)$ bzw. $d(a_n,a_m)$ ersetzt, wobei $d$ die Metrik auf $𝕏$ ist.