Mathematik: Analysis: Anhänge: Zahlenmengen

natürliche Zahlen

$\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots \}=\{k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$

Die Menge der natürlichen Zahlen ist eine ideale Indexmenge und wird für Abzählbarkeitsaussagen verwendet.

Menge der natürlichen Zahlen einschließlich der "Null": ${\mathbb{N}}_0=\{0,1,2,3,\dots \}=\{0\}\cup \mathbb{N}$

Axiomatik der natürlichen Zahlen

(N1)	Die Zahl "1" ist eine natürliche Zahl: $1\in \mathbb{N}$
(N2)	Ist n eine natürliche Zahl, so ist auch (n + 1) eine natürliche Zahl: $n\in \mathbb{N}\Rightarrow (n+1)\in \mathbb{N}$
Definition	(n + 1) heißt der Nachfolger von n und n nennt man den Vorgänger von (n + 1)
(N3)	Jede Menge M die die Zahl "1" und mit n auch stehts die Zahl (n + 1) enthält ist gleich der Menge der natürlichen Zahlen ($M=\mathbb{N}$) (Induktionsaxiom)

Primzahlen

Eine wichtige Teilmenge der Natürlichen Zahlen sind die Primzahlen. Primzahlen sind nur durch sich selbst und 1 ohne Rest teilbar. $\mathbb{P}=\{2,3,5,7,11,\dots \}$

ganze Zahlen

$\mathbb{Z}=\{\dots -2,-1,0,1,2\dots \}=-\mathbb{N}\cup {\mathbb{N}}_0$

$-\mathbb{N}:=\{(-1)\cdot x:x\in \mathbb{N}\}$

rationale Zahlen

Die Menge der rationalen Zahlen ist die Menge aller Zahlen die sich als Bruch aus ganzen Zahlen darstellen lassen.

$\mathbb{Q}=\{x|x=\frac{p}{q},p\in \mathbb{Z},q\in \mathbb{N}\}$

Der Fall $q=0$ ist per Definition ausgeschlossen.

irrationale Zahlen

Die Menge der irrationalen Zahlen ist die Menge aller nichtendlichen und nichtperiodischen Dezimalbrüche.
Beispiele: $\sqrt{2},\pi ,e$

reelle Zahlen

Datei:Reelle Zahlen.png

Zahlenstrahl zur Darstellung der Reellen Zahlen

Die Menge der reellen Zahlen bezeichnet die Menge aller Zahlen, die sich durch einen (unendlichen) Dezimalbruch darstellen lassen.

$ℝ=\{x:x=p,p_1{p}_2{p}_3\dots \text{ mit }\begin{array}{c}p\in \mathbb{Z}\\ p_k\in \{k{\}}_{k=0}^9\\ k\in \mathbb{N}\end{array}\}$

komplexe Zahlen

$ℂ=\{z:z=a+i\cdot b\text{ mit }\begin{array}{c}a,b\in ℝ\\ i^2=-1\end{array}\}$

Dabei wird $a=\text{Re}(z)$ als Realteil und $b=\text{Im }(z)$ als Imaginärteil von z bezeichnet.

weitere Darstellungsmöglichkeiten

Exponentialdarstellung: $z=r\cdot e^{i\cdot \phi }$
Trigonometrische Darstellung: $z=r\cdot (\cos \phi +i\cdot \sin \phi )$
jeweils mit $r=\sqrt[2]{a^2+b^2}$ und $\phi =\arg z$

Beziehungen zwischen Mengen

Im Sinne der Mengeninklusion gilt:

$\mathbb{N}\subset {\mathbb{N}}_0\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset ℝ\subset ℂ$