Mathematik: Analysis: Anhänge: Metrische Räume

Wichtige Beispiele Metrischer Räume

Die wichtigsten Metrischen Räume in der Mathematik, die man ständig verwendet, sind $ℝ$ und $ℂ$.
Ebenso sind sämtliche endlich dimensionalen Euklidische und Unitäre Vektorräume mit der Standardnorm metrisch.
Jede Menge wird mit Hilfe der Funktion $d(x,y)=1$ für $x=y$ und $d(x,y)=0$ für $x=y$ zu einem Metrischen Raum. Man spricht von DER diskreten Metrik, welche ebenfalls die diskrete Topologie erzeugt.

Lemma: Jedes abzählbare Produkt metrischer Räume $M:=M_1\times M_2\times M_3\times \cdots$ mit Metriken $d_1,d_2,d_3,...$ und der Voraussetzung $sup\{d_i(a_i,b_i)|a_i,b_i\in M_i\}<C\mathrm{\forall }i$ für eine von i unabhängige Konstante C kann mit der folgenden Funktion zu einem Metrischen Raum gemacht werden: zu $x,y\in M$ definiere: $d(x,y):=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{d(x_i,y_i)}{2^i}$
Beweis: Die drei Eigenschaften einer Metrik übertragen sich direkt, falls die Summen konvergieren und dies ist der Fall, da sie durch 2C nach oben abgeschätzt werden kann.

Lemma: Sie M ein metrischer Raum mit Metrik d(.,.). Dann definiert $\bar{d}(x,y):=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}$ ebenfalls eine Metrik mit $0\le \bar{d}(x,y)\le 1\mathrm{\forall }x,y\in M$

Bemerkung:Die Metriken sind sogar äquivalent, das heißt sie induzieren die gleichen offenen Mengen.

Satz: Jedes abzählbare Produkt metrischer Räume $M:=M_1\times M_2\times M_3\times \cdots$ mit Metriken $d_1,d_2,d_3,...$ kann mit der folgenden Funktion zu einem Metrischen Raum gemacht werden: zu $x,y\in M$ definiere: $d(x,y):=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{d_i(x_i,y_i)}{2^i(1+d_i(x_i,y_i))}$