Mathematik: Algebra: Körper

Grundlagen

Körper

Definition: Eine Menge $K$ mit zwei Verknüpfungen

$\begin{array}{ccc}+:K\times K\to K& & (a,b)\mapsto a+b\\ \cdot :K\times K\to K& & (a,b)\mapsto a\cdot b\end{array}$

heißt Körper im Zeichen $(K;+,\cdot )$, wenn folgendes gilt:

(K1) $(K,+)$ ist eine kommutative Gruppe

(K2) $(K\setminus \{0\},\cdot )$ ist ebenfalls eine kommutative Gruppe

(K3) Es gelten die Distributivgesetze, also ist für $a,b,c\in K$

$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ und $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$

Dabei werden die neutralen Elemente von $(K,+)$ mit $0$ und von $(K,\cdot )$ mit $1$ bezeichnet. Das zu $a\in (K,\cdot )$ inverse Element wird mit $a^{-1}$ oder mit $1/a$ bezeichnet. Für $a,b\in (K,\cdot )$ schreibt man $a/b=a{b}^{-1}=b^{-1}a$. Das inverse Element zu $a\in (K,+)$ ist $-a$.

Kurz gesagt: Ein Körper ist ein kommutativer Ring mit Einselement, in dem jedes von $0$ verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.

Beispiele:

• Die rationalen, reellen und komplexen Zahlen $\mathbb{Q},ℝ,ℂ$ bilden jeweils einen Körper.
• $\mathbb{Z}$ ist kein Körper, da z.B. $2$ kein multiplikatives Inverses besitzt
• $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=\{\overline{0},\overline{1}\}$ ist ein Körper. Allgemeiner ist $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ genau dann ein Körper, wenn $p$ Primzahl ist.

Aus dieser Definition lassen sich weitere Eigenschaften eines Körpers herleiten.

Ein Körper ist nullteilerfrei, denn aus $ab=0$ und $a=0$ folgt durch Multiplikation mit $a^{-1}$, dass $b=0$.

Definition: Sei $K$ ein Körper. Existiert eine (die kleinste) natürliche Zahl $n$, für die gilt $\underset{\text{n-mal}}{\underbrace{1+\dots +1}}=0$, so heißt $char(K)=n$ die Charakteristik von $K$. Gibt es keine solche Zahl, so setzt man $char(K)=0$.

Vektorräume

Definition: Eine Menge $V$ mit zwei Verknüpfungen

$\begin{array}{ccc}+:V\times V\to V& & (v,w)\mapsto v+w\\ \cdot :K\times V\to V& & (a,v)\mapsto a\cdot v\end{array}$

heißt Vektorraum über dem Körper $K$, falls gilt:

(V1) $(V,+)$ ist eine kommutative Gruppe

(V2) $(ab)v=a(bv)$ für alle $a,b\in K,v\in V$

(V3) $(a+b)v=av+bv$ für alle $a,b\in K,v\in V$

(V4) $a(v+w)=av+aw$ für alle $a\in K,v,w\in V$

Die Elemente von $K$ werden in diesem Zusammenhang als Skalare bezeichnet, die Verknüpfung $\cdot :K\times V\to V$ heißt Skalarmultiplikation.

Beispiele:

• Die Menge $K^n$ der $n$-Tupel bildet einen Vektorraum über $K$. Hierbei ist die Addition komponentenweise definiert und die Skalarmultiplikation durch

$a\cdot (x_1,...,x_n)=(a{x}_1,...,a{x}_n)$.

• Der Polynomring $K[X]$ ist ein Vektorraum über $K$.

Definition: Erzeugendensystem, linear-unabhängig, Basis

Satz: Je zwei Basen eines Vektorraums haben die gleiche Elementanzahl.

Definition: Dimension

Körpererweiterungen

Definition: Eine Teilmenge $K$ eines Körpers $L$ heißt Teilkörper von $L$, wenn $K$ mit der Addition und Multiplikation von $L$ selbst ein Körper ist.

Definition: Sei $L$ ein Körper, $K$ ein Teilkörper von $L$. Dann heißt $L$ Erweiterungskörper von $K$ und der Zusammenhang $L/K$ wird als Körpererweiterung bezeichnet.

Beispiel: $ℂ/ℝ$ ist eine Körpererweiterung.

Definition: Sei $L/K$ eine Körpererweiterung, $M\subset L$ eine Menge von Elementen. Dann bezeichnet $K(M)$ den kleinsten Teilkörper von $L$, der alle Elemente aus $M$ enthält, genannt die durch Adjunktion von $M$ erzeugte Körpererweiterung von $K$.

Definition: Eine Körpererweiterung heißt endlich erzeugbar, wenn $M$ endlich ist. Man schreibt dann mit $M=\{a_1,\dots ,a_k\}$ für die Körpererweiterung $K(a_1,\dots ,a_k)$

Definition: Eine Körpererweiterung heißt einfach, wenn sie von einem Element erzeugt werden kann.

Definition: Sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Dann heißt die Dimension von $L$ als $K$-Vektorraum Grad der Körperweiterung von $L$ über $K$. Körpererweiterungen mit endlichem Grad heißen ferner endlich (nicht zu verwechseln mit endlich erzeugt).

Definition: Sei $L/K$ eine Körpererweiterung. Ein Element $l\in L$ heißt algebraisch über $K$, wenn es Nullstelle eines normierten Polynoms mit Koeffizienten aus $K$ ist. Anderenfalls nennt man $l$ transzendent über $K$. Sind alle $l\in L$ algebraisch über $K$, so spricht man von einer algebraischen Körpererweiterung.

Beispiele:

• Die Körpererweiterung $ℂ/ℝ$ ist algebraisch und vom Grad 2.
• Die Körpererweiterung $ℂ/\mathbb{Q}$ ist nicht algebraisch und eine unendliche Körpererweiterung.

Satz: Es gilt $K(a)=K[a]$ genau dann, wenn a algebraisch über $K$ ist.