Mathe für Nicht-Freaks: Wurzel

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Motivation der Wurzel

Die Motivation hinter der Wurzel ist die Umkehrung der Potenzbildung. Zur Wiederholung: Ist $x$ eine reelle Zahl, so ist die $n$-te Potenz von $x$ definiert als

Die Wurzel ist nun die Antwort auf die Frage: Bei einer gegebenen reellen Zahl $a$ erfüllt welche reelle Zahl $x$ die Potenzgleichung $x^n=a$? Die $n$-te Wurzel einer Zahl $a$ (für die wir später $\sqrt[n]{a}$ schreiben werden) soll eine Zahl $x$ sein, für die $x^n=a$ gilt.

Probleme bei der Definition der Wurzel

Die Quadratfunktion nimmt keine negativen Werte an und für positive Werte besitzt die Quadratfunktion zwei Argumente mit diesem Funktionswert

Wenn wir die Lösungen der Potenzgleichung $x^n=a$ untersuchen, dann stellen wir zwei Probleme fest: Zum einen ist nicht jede Potenzgleichung lösbar und zum anderen kann eine solche Gleichung mehrere Lösungen besitzen.

Nicht jede Potenzgleichung ist lösbar

Nicht jede Potenzgleichung $x^n=a$ besitzt eine Lösung in den reellen Zahlen. Beispielsweise gibt es keine reelle Zahl $x$, die die Gleichung $x^2=-1$ erfüllt, da $x^2$ stets eine nicht-negative Zahl ist. Generell ist die Potenzgleichung $x^n=a$ immer dann in den reellen Zahlen unlösbar, wenn $n$ eine gerade Zahl und $a$ negativ ist. In diesem Fall ist nämlich $x^n$ stets nicht-negativ und kann damit nie gleich der negativen Zahl $a$ sein.

Um nun Lösungen der Potenzgleichung $x^n=a$ für alle $n$ finden zu können, werden wir im Folgenden nur nicht-negative Zahlen $a\in {ℝ}_0^{+}$ zulassen. Unter dieser Beschränkung können wir nämlich beweisen, dass die Potenzgleichung mindestens eine Lösung besitzen muss. Bei ungeradem $n$ tritt dieses Problem im Übrigen nicht auf, weil dann $x^n$ auch negativ werden kann.

Eine Potenzgleichung kann mehrere Lösungen besitzen

Eine Potenzgleichung $x^n=a$ kann mehrere Lösungen besitzen. Nimm zum Beispiel die Gleichung $x^2=1$, welche die beiden Lösungen $x_1=1$ und $x_2=-1$ besitzt. Nun soll aber die $n$-te Wurzel einer Zahl eindeutig definiert sein. Welche Lösung der Potenzgleichung wählt man also, wenn es mehrere Lösungen gibt?

Wenn man die Potenzgleichungen untersucht, dann stellt man fest, dass dieses Problem genau dann auftritt, wenn $n$ eine gerade Zahl und $a$ positiv ist. In diesem Fall gibt es genau zwei Lösungen: eine positive und eine negative Lösung. Hier werden wir die positive Lösung als $n$-te Wurzel wählen. Im Beispiel der Gleichung $x^2=1$ werden wir die Lösung $x_1=1$ als Quadratwurzel von $1$ wählen. Um auch Null als Wurzel zuzulassen, werden wir deswegen festlegen, dass die Wurzel immer nicht-negativ sein soll.

Zusammenfassung

Wir haben festgelegt, dass in der Gleichung $x^n=a$ die Zahl $a$ zur Bestimmung der Wurzel nicht-negativ sein muss. Auch haben wir bestimmt, dass wir die nicht-negative Lösung dieser Gleichung als Wurzel definieren. Wir werden später mit Hilfe der Vollständigkeit von $ℝ$ zeigen, dass unter diesen Voraussetzungen die $n$-te Wurzel einer reellen Zahl immer existiert. Auch werden wir beweisen, dass die Wurzel unter diesen Bedingungen immer eindeutig ist.

Definition

Definition der Wurzel

Wir definieren formal sauber:

Dass die $n$-te Wurzel existiert und eindeutig ist, werden wir später zeigen. Auch werden wir sehen, warum es sinnvoll ist, für eine Wurzel $\sqrt[n]{a}$ die Potenz $a^{\frac{1}{n}}$ aufzuschreiben.

Die Wurzelfunktion

Verschiedene Wurzelfunktionen

Mit der Wurzel können wir für $n\in \mathbb{N}$ die Wurzelfunktion $\sqrt[n]{.}$ definieren. Sie ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion

Die Wurzelfunktion ist

Unterscheidung: Wurzel, Wurzelfunktion und Lösung einer Potenzgleichung

Es ist in der Analysis sehr wichtig, unterschiedliche Begriffe voneinander unterscheiden zu können. Drei Begriffe, die oftmals wild durcheinander geworfen werden, sind Wurzel, Wurzelfunktion und Lösung der Potenzgleichung $x^n=a$:

Wurzel

Die Wurzel ist diejenige nicht-negative reelle Zahl, die die Potenzgleichung $x^n=a$ für $a\in {ℝ}_0^{+}$ erfüllt. Es handelt sich also bei einer Wurzel um eine reelle Zahl.

Wurzelfunktion

Wie der Name es bereits andeutet, handelt es sich bei der Wurzelfunktion um eine Funktion. Diese ist definiert als $\sqrt[n]{.}:{ℝ}_0^{+}\to {ℝ}_0^{+}:x\mapsto \sqrt[n]{x}$. Sie ist damit eine Funktion mit den nicht-negativen reellen Zahlen als Definitionsbereich und den nicht-negativen reellen Zahlen als Wertebereich. Dabei ordnet sie einer nicht-negativen Zahl ihre Wurzel zu.

Lösung der Potenzgleichung

Die Lösung einer Potenzgleichung $x^n=a$ ist eine reelle Zahl $x$, die diese Gleichung erfüllt. Nun kann eine Potenzgleichung mehrere Lösungen haben. Wenn $a$ eine nicht-negative Zahl ist, dann ist die $n$-te Wurzel von $a$ eine dieser Lösungen, muss aber nicht die Einzige sein. Eine Aussage wie „$\sqrt{2}$ ist die Lösung der Gleichung $x^2=2$“, ist nicht richtig, da $\sqrt{2}$ nicht die, sondern nur eine der zwei Lösungen $x=\sqrt{2}$ und $x=-\sqrt{2}$ von $x^2=2$ ist.

Wurzel als Potenz

Es ist auch üblich, anstelle von $\sqrt[n]{a}$ die Schreibweise $a^{\frac{1}{n}}$ zu benutzen. Die Wurzel wird hier als spezielle Potenz aufgefasst. Dies ergibt Sinn, denn für Wurzeln gelten dieselben Rechenregeln wie für Potenzen mit ganzzahligen Exponenten. Dies werden wir später im Kapitel „Rechenregeln der Wurzel“ untersuchen. Für negative ganzzahlige Potenzen hatten wir $x^{-n}={\left(\frac{1}{x}\right)}^n=\frac{1}{x^n}$ gesetzt. Damit sich dies auch mit der Potenzschreibweise für Wurzeln übereinstimmt, definieren wir für alle $n\in \mathbb{N}$

Eindeutigkeit der Wurzel

Hilfssatz zum Beweis der Eindeutigkeit

Zunächst zeigen wir, dass die $n$-Wurzel eindeutig ist. Dafür benötigen wir den folgenden Hilfssatz:

Beweis der Eindeutigkeit

Nun können wir die Eindeutigkeit der Wurzel zeigen:

Existenz der Wurzel

Exkurs: Das Dilemma der griechischen Mathematik

Wurzel 2 im rechtwinkligem Dreieck

Wurzel 2 als unendliche Dezimalzahl

Ich möchte dir nun zeigen, dass die Existenz der Wurzel nicht selbstverständlich ist: Beispielsweise gibt es in der Grundmenge der rationalen Zahlen keine Zahl, die die Potenzgleichung $x^2=2$ löst. Damit gibt es in den rationalen Zahlen keine Wurzel von $2$.

Bereits den alten Griechen war dies bekannt.

$\sqrt{2}$ tritt zum Beispiel beim Einheitsquadrat auf, denn es ist die Länge der Diagonale eines Quadrates mit einer Kantenlänge von Maß $1$. Nach dem Satz des Pythagoras $a^2+b^2=c^2$ über rechtwinklige Dreiecke erhalten wir für $a=b=1$ die Gleichung $1^2+1^2=c^2$. Wenn wir diese nach $c$ durch Wurzelziehen umstellen, dann ergibt sich für die Diagonale $c$ die Länge $\sqrt{2}$. Damit kann $\sqrt{2}$ auch mit Hilfe von Zirkel und Lineal bestimmt werden:

Konstruktion von Wurzel 2

Wir wollen nun durch einen Widerspruchsbeweis zeigen, dass $\sqrt{2}$ keine rationale Zahl ist. Hierzu nehmen wir an, dass $\sqrt{2}$ rational ist. In diesem Fall existieren teilerfremde Zahlen $p$ und $q$ mit

Die Voraussetzung, dass Zähler und Nenner teilerfremd sind, ist gleichbedeutend damit, dass der Bruch bereits vollständig gekürzt vorliegt. Durch Quadrieren beider Seiten der Gleichung erhalten wir:

$p^2$ muss also das Doppelte von $q^2$ sein und ist somit eine gerade Zahl. Nun ist das Quadrat einer Zahl genau dann gerade, wenn die Zahl selbst gerade ist. Demnach muss auch $p$ gerade sein und es gibt damit ein $k\in \mathbb{N}$ mit $p=2k$. Setzen wir dies in die obige Gleichung ein, so folgt:

Kannst du erkennen, welches Problem nun auftritt? Da $q^2$ gerade ist, muss auch $q$ gerade sein. Somit kann man den Bruch $\frac{p}{q}$ durch $2$ kürzen. Dies widerspricht jedoch der Annahme, dass $p$ und $q$ teilerfremd sind. Wir hatten nämlich $p$ und $q$ so gewählt, dass $\frac{p}{q}$ vollständig gekürzt ist. Es folgt, dass $\sqrt{2}$ keine rationale Zahl sein kann.

Baustelle: Beweis der Existenz einer Wurzel

Wir haben uns gerade überlegt, dass in den rationalen Zahlen Wurzeln nicht immer existieren müssen. In $ℝ$ hingegen werden wir sehen, dass dies schon der Fall ist. Die Struktur-Eigenschaft, die $ℝ$ von $\mathbb{Q}$ unterscheidet, ist die Vollständigkeit der reellen Zahlen. Diese hatten wir über rationale bzw. allgemeine Intervallschachtelungen definiert. Um also die Existenz einer Wurzel in den reellen Zahlen beweisen zu können, müssen wir das Intervallschachtelungsprinzip verwenden.

In einem ersten Schritt beweisen wir, dass $\sqrt{2}$ eine reelle Zahl ist bzw. dass es eine nicht-negative reelle Zahl $x$ mit $x^2=2$ gibt. Um das Intervallschachtelungsprinzip anwenden zu können, müssen wir eine Intervallschachtelung $I_1,I_2,I_3,\dots$ konstruieren, die als einziges Element $\sqrt{2}$ enthält.

Da wir allerdings nicht wissen, wo genau $\sqrt{2}$ auf dem Zahlenstrahl liegt, müssen wir einen Trick anwenden, der darin besteht, "simultan" zur Intervallschachtelung $I_1,I_2,I_3,\dots$ für $x=\sqrt{2}$ eine Intervallschachtelung $I_1^2,I_2^2,I_3^2,\dots$ für $x^2=2$ zu konstruieren, denn $x=\sqrt{2}$ ist die Zahl, für die $x^2=2$ gilt, und von $x=\sqrt{2}$ wissen wir ja, wo sie genau auf dem Zahlenstrahl liegt. Bei diesem "simultanen" Verfahren müssen wir allerdigs sicherstellen, dass $x^2=2\in I_n^2$ für alle $n\in \mathbb{N}$ gilt, denn dadurch stellen wir auch sicher, dass die gesuchte Zahl $\sqrt{2}$ in allen Intervallen $I_1,I_2,I_3,\dots$ enthalten bzw. $x=\sqrt{2}\in I_n$ für alle $n\in \mathbb{N}$ ist.

Fangen wir also mit den Anfangsintervallen $I_1$ bzw. $I_1^2$ an und setzen dabei als untere Grenze $a_1=1$, so dass $a_1^2=1^2=1\le 2=x^2$ ist. Als obere Grenze setzen wir $b_1=x^2=2$, so dass $b_1^2=2^2=4\ge 2=x^2$ ist. Damit sind $I_1=[a_1,b_1]=[1,2]$ und $I_1^2=[a_1^2,b_1^2]=[1,4]$ unsere ersten beiden Intervalle.

Nun wählen wir die Standardmethode für Intervallschachtelungen, indem wir für die nächsten beiden Intervalle unserer Schachtelung das Intervall $I_1=[1,2]$ "halbieren". Für $I_2$ müssen wir uns nun zwischen $[1,\frac{3}{2}]$ und $[\frac{3}{2},2]$ entscheiden. Wir wissen bereits, dass $x^2=2\in I_2^2$ Grundbedingung für $x\in I_2$ ist. Also entscheiden wir uns für $I_2=[1,\frac{3}{2}]$, denn tatsächlich ist $2\in [1^2,{\left(\frac{3}{2}\right)}^2]=[1,\frac{9}{4}]$. Damit sind $I_2=[a_2,b_2]=[1,\frac{3}{2}]$ und $I_2^2=[a_2^2,b_2^2]=[1,\frac{9}{4}]$ unsere neuen Intervalle.

Dieses Prinzip setzen wir nun beliebig fort. Für $I_3$ ergibt sich $I_3=[\frac{5}{4},\frac{3}{2}]$, denn $\frac{5}{4}=\frac{1}{2}(1+\frac{3}{2})$ und $2\in [{\left(\frac{5}{4}\right)}^2,{\left(\frac{3}{2}\right)}^2]=[\frac{25}{16},\frac{9}{4}]=I_3^2$.

Ganz allgemein definieren wir unsere Intervallschachtelung $I_1,I_2,I_3,\dots$ folgendermassen:

Setze $I_1=[a_1,b_1]=[1,2]$ und für $n\ge 1$: $m_n=\frac{1}{2}(a_n+b_n)$, und $I_{n+1}=\{\begin{array}{cc}[a_n,m_n]& \text{falls }2\in [a_n^2,m_n^2[,\\ [m_n,b_n]& \text{falls }2\in [m_n^2,b_n^2].\end{array}$

Dann ist $(I_n)$ tatsächlich eine Intervallschachtelung, denn zum Einen gilt (nach Konstruktion) $I_{n+1}\subseteq I_n$ für alle $n\in \mathbb{N}$. Zum Anderen ist

Daher gibt es nach einer Folgerung zum archimedischen Axiom zu jedem $ϵ>0$ ein $N\in \mathbb{N}$ mit $|I_N|=b_N-a_N<ϵ$. Damit gibt es genau eine reelle Zahl $\tilde{x}$, die von der Intervallschachtelung approximiert wird.

Wir müssen nun aber noch zeigen, dass tatsächlich $\tilde{x}=\sqrt{2}$ gilt. Dies folgt leider noch nicht automatisch, da wir in der Konstruktion der Intervallschachtelung $(I_n)$ die Bedingung $x^2=2\in I_n^2$ und nicht $x=\sqrt{2}\in I_n$ benutzt hatten. Zunächst zeigen wir, dass $(I_n^2)$ ebenfalls eine Intervallschachtelung ist. Einerseits ist wieder nach Konstruktion $I_{n+1}^2\subseteq I_n^2$ für alle $n\in \mathbb{N}$. Andererseits gilt

Da nun $(I_n)$ eine Intervallschachtelung war, existiert zu jedem $ϵ>0$ aber auch ein $N\in \mathbb{N}$ mit $|I_N|=b_N-a_N<\frac{ϵ}{2b_1}$. Damit gilt aber

Also ist $(I_n^2)$ ebenfalls eine Intervallschachtelung. Diese hat nun ebenfalls genau ein Element $y$, das in allen Intervallen enthalten ist. Wir hatten $(I_n^2)$ aber nun so konstruiert, dass $x^2=2$ in allen Intervallen enthalten ist. Daraus folgt nun $y=x^2=2$. Damit ist nun $\tilde{x}=x=\sqrt{2}$.

Also haben wir mit Hilfe einer Intervallschachtelung gezeigt, dass $\sqrt{2}$ in $ℝ$ existiert.

Ganz analog können wir nun folgenden Satz beweisen:

Vertiefung: Wurzel im Komplexen

In der Grundmenge der komplexen Zahlen $ℂ$ besitzt die Potenzgleichung $x^n=a$ für $a\ne 0$ genau $n$ Lösungen – auch wenn $a$ eine negative Zahl ist. Jede dieser Lösungen wird dann Wurzel der Potenzgleichung $x^n=a$ genannt. Während also im Reellen eine Zahl nur eine $n$-te Wurzel besitzt, besitzt diese Zahl im Komplexen mehrere $n$-te Wurzeln.

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