Mathe für Nicht-Freaks: Vektorielle Operationen für Matrizen

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Herleitung

Seien $m,n\in \mathbb{N}$ und $V$ ein $n$-dimensionaler und $W$ ein $m$-dimensionaler $K$-Vektorraum. Wir haben schon gesehen, dass wir nach Wahl geordneter Basen lineare Abbildungen von $V$ nach $W$ als Matrizen darstellen können. Seien also $B$ eine geordnete Basis von $V$ und $C$ eine geordnete Basis von $W$.

Der Raum ${\mathrm{Hom}}_K(V,W)$ der linearen Abbildungen von $V$ nach $W$ ist ebenfalls ein $K$-Vektorraum. Die darstellende Matrix einer linearen Abbildung $f\in {\mathrm{Hom}}_K(V,W)$ bzgl. der Basen $B$ und $C$ ist eine $(m\times n)$-Matrix $M_C^B(f)\in K^{m\times n}$. Wir werden versuchen, die Vektorraumstruktur von ${\mathrm{Hom}}_K(V,W)$ auf den Raum $K^{m\times n}$ der $(m\times n)$-Matrizen über $K$ zu übertragen.

Wir stellen also die Frage: Können wir eine Addition und skalare Multiplikation auf $K^{m\times n}$ finden, sodass $M_C^B(f+g)=M_C^B(f)+M_C^B(g)$ und $M_C^B(\lambda f)=\lambda M_C^B(f)$ für alle linearen Abbildungen $f,g:V\to W$ und alle $\lambda \in K$ gilt?

Gibt es auf $K^{m\times n}$ vielleicht sogar eine Vektorraumstruktur, sodass für alle endlich dimensionalen Vektorräume $V$ und $W$ und alle geordneten Basen $B$ von $V$ und $C$ von $W$ die Abbildung ${\mathrm{Hom}}_K(V,W)\to K^{m\times n};f\mapsto M_C^B(f)$ linear ist?

Denk am besten einmal selber über diese Frage nach. Es gibt eine Aufgabe zur Matrizenaddition und eine zur Skalarmultiplikation, die dir dabei helfen können.

Ein erster Schritt ist zur Beantwortung dieser Frage ist der folgende Satz: Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Vorlage:Anker Wir wollen die Vektorraumstruktur von $K^{m\times n}$ jetzt konkret bestimmen. Sei dazu $B=\{v_1,\dots ,v_n\}$ eine Basis von $V$ und $C=\{w_1,\dots ,w_m\}$ eine Basis von $W$. Wir definieren die von $M_C^B$ induzierte Addition auf dem Raum der Matrizen wie im letzten Satz: $A+A^{\prime }=M_C^B((M_C^B{)}^{-1}(A)+(M_C^B{)}^{-1}(A^{\prime }))$. Seien nun $A=(a_{ij}),A^{\prime }=(a{\text{'}}_{ij})\in K^{m\times n}$ beliebig und $f,g:V\to W$ die zu $A$ und $A^{\prime }$ zugehörigen linearen Abbildungen mit $M_C^B(f)=A,M_C^B(g)=A^{\prime }$. Dann gilt Vorlage:Einrücken

Diese $b_{ij}$ rechnen wir jetzt aus: In der $j$-ten Spalte muss $(f+g)(v_j)=\sum _{i=1}^m{b}_{ij}{w}_i$ gelten. Laut Definition von $f+g$ ist aber auch Vorlage:Einrücken Da die Darstellung von $f(v_j)$ bzgl. $C$ eindeutig ist, folgt $b_{ij}=a_{ij}+a{\text{'}}_{ij}$. Das heißt bei der von $M_C^B$ auf $K^{m\times n}$ induzierten Addition handelt es sich um komponentenweise Addition.

Untersuchen wir jetzt die von $M_C^B$ induzierte skalare Multiplikation $\lambda \cdot A=M_C^B(\lambda (M_C^B{)}^{-1}(A))$. Sei wieder $f=(M_C^B{)}^{-1}(A)$. Betrachte $(a{\text{'}}_{ij})=A^{\prime }=\lambda \cdot A$. Es gilt Vorlage:Einrücken Des Weiteren haben wir Vorlage:Einrücken Wegen $(\lambda \cdot f)(v_j)=\lambda f(v_j)$ folgt Vorlage:Einrücken Aus der Eindeutigkeit der Darstellung folgt somit $a{\text{'}}_{ij}=\lambda a_{ij}$. Wir sehen, die von ${\mathrm{Hom}}_K(V,W)$ durch $M_C^B$ auf $K^{m\times n}$ induzierte Skalarmultiplikation ist die komponentenweise Skalarmultiplikation.

Wir sehen hier auch, dass die induzierte Vektorraumstruktur unabhängig von unserer Wahl von $V,W,B$ und $C$ ist.

Definition

Wir haben gerade gesehen: Um auf den Matrizen eine sinnvolle Vektorraumstruktur zu definieren, müssen wir die Operationen komponentenweise ausführen. Wir definieren also Addition und skalare Multiplikation wie folgt:

Wenn man diese Definition in großen Matrizen ausschreibt, sieht das wie folgt aus. Vorlage:Einrücken

In Matrizen groß ausgeschrieben, sieht das wie folgt aus: Vorlage:Einrücken

Wenn wir Matrizen ohne den Kontext als Abbildungsmatrizen betrachten, sehen wir Folgendes: Matrizen sind nichts anderes als eine ungewöhnliche Art, Elemente des $K^{m\cdot n}$ zu schreiben, da Matrizen $m\cdot n$ Einträge haben. Genau wie im $K^{m\cdot n}$ ist bei Matrizen die Vektorraumstruktur komponentenweise definiert. Wir bekommen also alternativ den folgenden bedeutend kürzeren Beweis: Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Alternativer Beweis

Dimension von $K^{m\times n}$

Durch die obige Identifikation von $K^{m\times n}$ mit $K^{m\cdot n}$ erhalten wir eine kanonische Basis von $K^{m\times n}$: Sei $B_{ij}$ für $i\in \{1,...,m\},j\in \{1,...,n\}$ die Matrix $B_{ij}=(b_{kl})$ mit

$K^{m\times n}$ ist also ein $(m\cdot n)$-dimensionaler $K$-Vektorraum. Wir haben die Vektorraumstruktur auf $K^{m\times n}$ so konstruiert, dass für $n$- bzw. $m$-dimensionale Vektorräume $V$ und $W$ mit Basen $B$ bzw. $C$ die Zuordnung Vorlage:Einrücken ein linearer Isomorphismus ist. Wir bekommen also a posteriori wieder heraus, dass ${\mathrm{Hom}}_K(V,W)$ ein $(m\cdot n)$-dimensionaler $K$-Vektorraum ist. Das haben wir schon im Artikel Vektorraum linearer Abbildungen gesehen.

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