Mathe für Nicht-Freaks: Potenzmenge

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Definition

Datei:Die Potenzmenge – Erklärung und Beispiele.webm

Die Potenzmenge der Menge $\{x,y,z\}$

Die Potenzmenge $𝒫(M)$ einer Menge $M$ ist die Menge aller Teilmengen der Menge $M$. Es ist also $𝒫(M):=\{U|U\subseteq M\}$. Neben $𝒫(M)$ sind noch die Schreibweisen $2^M$ und $\mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{t}(M)$ gebräuchlich.

Einfach ausgedrückt: Die Potenzmenge ist die Menge aller möglichen Kombinationen der einzelnen Elemente einer Menge. Im vorherigen Kapitel wurde bereits die Teilmenge erläutert. Die Potenzmenge umfasst alle möglichen Teilmengen, die sich aus den Elementen von $M$ bilden lassen. Dazu zählt auch die leere Menge $\varnothing$.

 

Beispiele

Wenden wir die Definition nun in einem Beispiel an. Gegeben sei die Menge $M$ folgender Instrumente:

$M$ besitzt zwei Elemente. Damit kommen als Teilmengen von $M$ nur solche Mengen infrage, die entweder null, eins oder zwei Elemente enthalten. Insgesamt wirst du für $M$ folgende vier Teilmengen finden:

1. Die leere Menge ist die einzige Teilmenge von $M$ ohne Elemente: $\varnothing \subseteq \{\text{Geige, Klavier}\}$.
2. Die zwei einelementigen Teilmengen von $M$ sind $\{\text{Geige}\}$ und $\{\text{Klavier}\}$:
   1. $\{\text{Geige}\}\subseteq \{\text{Geige, Klavier}\}$
   2. $\{\text{Klavier}\}\subseteq \{\text{Geige, Klavier}\}$
3. Als einzige zweielementige Teilmenge von $M$ kommt die Menge selbst infrage: $\{\text{Geige, Klavier}\}\subseteq \{\text{Geige, Klavier}\}$

Alle vier Teilmengen können wir nun in die Potenzmenge $𝒫(M)$ zusammenfassen:

Weitere Beispiele sind:

In der folgenden Animation ist die Erstellung der Potenzmenge $𝒫(\{x,y,z\})$ dargestellt:

Eigenschaften und Verständnisfragen

Wenn du dir die obigen Beispiele anschaust, dann ist die Anzahl der Elemente der bisherigen Potenzmengen stets eine Potenz von $2$. Dies ist nicht verwunderlich, denn es gilt allgemein:

Bei dem obigen Instrumentenbeispiel ist beispielsweise $m=2$. Damit muss die Potenzmenge $2^m=2^2=4$ Elemente besitzen. Die Beispielmenge $\{x,y,z\}$ hat drei Elemente und acht Teilmengen (x, y und z seien alle verschieden).

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