Mathe für Nicht-Freaks: Teilmenge und echte Teilmenge

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|oben}}

Beziehungen zwischen Mengen

Stelle dir zwei Mengen $A$ und $B$ in einem Mengendiagramm vor. Es gibt mehrere Möglichkeiten, wie diese beiden Mengen zueinander liegen können. $A$ und $B$ könnten sich überlappen, $A$ könnte komplett in $B$ liegen oder es gibt eine andere Lage zueinander. Einige dieser Zusammenhänge treten so häufig in der Mathematik auf, dass sie eigene Bezeichnungen bekommen haben. Diese sind:

Mengendiagramm	Bezeichnung
	$A$ ist eine Teilmenge von $B$
	$A$ und $B$ sind disjunkte Mengen.

Teilmenge

Definition und Beispiele

Datei:Die Teilmenge.webm

Die regulären Polygone bilden eine Teilmenge der Polygone.

Mengendiagramm für $A\subseteq B$

Datei:Teilmengen und Obermengen.webm Wenn alle Elemente einer Menge $A$ auch Elemente einer Menge $B$ sind, so wird $A$ eine Teilmenge der Menge $B$ genannt. Hierfür schreibt man $A\subseteq B$. Es ist also $A$ genau dann eine Teilmenge von $B$, wenn sie einen Teil der Menge von $B$ umfasst. Betrachte hierzu die folgenden zwei Mengen:

Da alle Streichinstrumente auch Instrumente sind, sind alle Elemente von $A$ auch Elemente von $B$. Damit ist $A$ eine Teilmenge von $B$. Weitere Sprechweisen für $A\subseteq B$ sind:

und

Erläutern wir diese Sprechweise noch einmal an dem Beispiel von gerade eben. Zweifellos wird man erkennen, dass die Menge der Instrumente $B$ alle Streichinstrumente aus $A$ umfasst und darüber hinaus noch weitere Elemente enthält. Ordnen wir die Mengen $A$ und $B$ nun nach der Allgemeinheit ihrer Bezeichnung an (absteigend von allgemein nach spezifisch):

1. Menge $B$: Instrumente
2. Menge $A$: Streichinstrumente

„Instrument“ ist ein Oberbegriff für „Streichinstrumente“. Dementsprechend muss $B$ eine Obermenge von $A$ sein. Analog ist „Streichinstrumente“ ein Unterbegriff von „Instrumente“, weswegen $A$ auch eine Untermenge von $B$ ist. Du kannst es dir auch räumlich vorstellen: die Menge $B$ steht über $A$ und ist daher eine Obermenge von $A$, während $A$ als Untermenge unter $B$ steht. Bei unterschiedlichen Mengen umfasst also die größere Obermenge die kleinere Untermenge.

Auch die gegenteilige Beziehung von zwei Mengen ist mathematisch darstellbar. Möchtest du etwa betonen, dass $A$ keine Teilmenge der Menge $B$ ist, so kannst du $A⊈B$ schreiben. Beispiel:

Fassen wir das bereits Gesagte in einer Definition zusammen:

Es ist also:

Mit Erklärung:

Einige Beispiele:

Das fünfte Beispiel zeigt exemplarisch, dass jede Menge Teilmenge von sich selbst ist. Es ist also $M\subseteq M$ für alle Mengen $M$. Folglich:

Instrumente sind somit eine Teilmenge von Instrumente. Im ersten Moment mag dies ungewohnt klingen. Für die Mathematik hat sich diese Konvention aber als sinnvoll erwiesen, weil so unnötige Fallunterscheidungen, ob zwei Mengen gleich sind oder nicht, vermieden werden. Mit dem Begriff der echten Teilmenge (siehe unten) gibt es einen Begriff, der die Gleichheit der beiden Mengen ausschließt.

Identität von Mengen zeigen

Um die Identität zweier Mengen $A$ und $B$ zu zeigen, geht man häufig in zwei Schritten vor. Man zeigt zunächst, dass $A$ eine Teilmenge von $B$ ist, und später im zweiten Schritt, dass $B$ eine Teilmenge von $A$ ist. Für zwei Mengen $A$ und $B$ gilt nämlich folgende Äquivalenz:

Transitivität der Teilmengenbeziehung

Datei:Die Transitivität der Teilmengenbeziehung.webm

Wenn A eine Teilmenge von B und B eine Teilmenge von C ist, ist A auch eine Teilmenge von C

Es ist auch möglich, mehrere Teilmengenbeziehungen hintereinander aufzuführen:

Diese Schreibweise ergibt Sinn, weil aus $A\subseteq B$ und $B\subseteq C$ folgt, dass $A\subseteq C$ ist. Obige Teilmengenkette impliziert also:

Dieser Zusammenhang ist in allgemeiner Form auch im Bild rechts dargestellt. Die beschriebene Eigenschaft nennt man „Transitivität der Teilmengenbeziehung“:

Echte Teilmenge

Definition und Erklärung

Datei:Die echte Teilmenge.webm

Die Menge {Trommel, Spielkarte} ist eine echte Teilmenge der Menge {Gitarre, Spielkarte, Digitalkamera, Trommel}

Ist eine Menge $A$ eine Teilmenge der Menge $B$ und $A\ne B$, so nennt man $A$ eine echte Teilmenge der Menge $B$. Um deutlich zu machen, dass $A$ eine echte Teilmenge von $B$ ist, schreibt man $A⊊B$.

Oben haben wir bereits gesehen, dass jede Menge Teilmenge von sich selbst ist. Beispielsweise ist:

Beide Mengen sind identisch, da die darin enthaltenen Elemente exakt übereinstimmen. Umgangssprachlich sollte aber ein „Teil“ nicht identisch mit dem Ganzen sein. Um bei Teilmengen die Gleichheit beider Mengen auszuschließen, gibt es den Begriff der echten Teilmenge. Im obigen Beispiel liegt demnach keine echte Teilmenge vor. Anders ist es dagegen im folgenden Beispiel:

Der Unterschied wird anhand der Schreibweise deutlich:

Schreibweise	Bedeutung	Bemerkung
$A\subseteq B$	$A$ ist eine Teilmenge von $B$	der Fall $A=B$ ist hier möglich
$A⊊B$	$A$ ist eine echte Teilmenge von $B$	hier ist garantiert $A\ne B$, es gibt also ein Element $b\in B$ mit $b\notin A$

Beispiele

Betrachte zunächst folgende Beispiele:

Um den Unterschied der Begriffe „Teilmenge“ und „echte Teilmenge“ deutlich zu machen, kannst du folgende Mengen betrachten:

$A$ ist eine Teilmenge von $B$ und weil $B$ zusätzliche Elemente besitzt, ist $A$ auch eine echte Teilmenge von $B$. Außerdem ist $C$ auch eine Teilmenge von $B$. Weil aber $B$ und $C$ identisch sind, ist $C$ keine echte Teilmenge von $B$:

• 
  A ist eine echte Teilmenge von B
• 
  C ist keine echte Teilmenge von B

Verständnisfragen zur Teilmenge

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|unten}}