Mathe für Nicht-Freaks: e-Reihe

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Die $e$-Reihe hat die Form $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}$. Wir werden sehen, dass sie konvergiert und als Grenzwert die Eulersche Zahl $e$ hat, die wir im Anwendungsbeispiel für das Monotoniekriterium für Folgen kennengelernt haben. Diese hatten wir als Grenzwert der Folgen $((1+\frac{1}{n}{)}^n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ und $((1+\frac{1}{n}{)}^{n+1}{)}_{n\in \mathbb{N}}$ definiert. Wir werden in diesem Kapitel daher $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^{n+1}=e=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}$ zeigen, was alles andere als offensichtlich ist. Bei der $e$-Reihe handelt es sich um einen Spezialfall der Exponentialreihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k!}$, die wir später untersuchen werden.

Konvergenz der e-Reihe

Zunächst zeigen wir, dass die Reihe überhaupt konvergiert. Über den Grenzwert machen wir uns danach Gedanken.

Grenzwert der e-Reihe

Nun zeigen wir, dass die $e$-Reihe tatsächlich gegen die Eulersche Zahl konvergiert. Dazu benutzen wir den Sandwichsatz, indem wir die Folge der Partialsummen $(s_n{)}_{n\in \mathbb{N}}={\left(\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ zwischen den beiden Folgen $((1+\frac{1}{n}{)}^n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ und $((1+\frac{1}{n}{)}^{n+1}{)}_{n\in \mathbb{N}}$ "einquetschen". Da diese beide gegen $e$ konvergieren, folgt somit die Behauptung.

Wir müssen also zeigen: Vorlage:Einrücken

Bemerkungen

• Alternativ lässt sich auch $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}\le e\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}$ zeigen, woraus dann ebenfalls $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}=e$ folgt.
• Des Weiteren bilden die Folgen $a_n=\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}$ und $b_n=\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}+\frac{1}{n\cdot n!}$ eine Intervallschachtellung $(I_n{)}_{n\in \mathbb{N}}=([a_n,b_n]{)}_{n\in \mathbb{N}}$, deren Schnittelement $e$ ist.
• Der Vorteil der $e$-Reihe im Vergleich zur $e$-Folge ist, dass die Reihe wesentlich schneller gegen die eulersche Zahl konvergiert. Beispielsweise stimmt $\sum _{k=0}^{10}\frac{1}{k!}\approx 2.7182818011$ schon auf 7 Nachkommastellen mit $e=2.718281828$ überein, während ${(1+\frac{1}{1000})}^{1000}=2.7169239$ erst auf 2 Nachkommastellen übereinstimmt.

Ausblick: Exponentialreihe

Wie in der Einleitung schon angekündigt werden wir später noch die Exponentialreihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k!}$ behandeln. Wir werden zeigen, dass diese für alle $x\in ℝ$ konvergiert. Daher wird über diese auch die reelle (sogar komplexe) Exponentialfunktion $\exp :ℝ\to ℝ$ definiert. Dass diese auch tatsächlich die aus der Schule bekannten Eigenschaften besitzt, muss natürlich noch gezeigt werden. Mit dem Grenzwert der $e$-Reihe können wir dann folgern: Vorlage:Einrücken

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