Mathe für Nicht-Freaks: Uneigentliches Supremum und Infimum

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|oben}} Damit eine Menge ein Supremum besitzen kann, muss sie nach oben beschränkt sein. In diesem Kapitel untersuchen wir den Fall unbeschränkter Mengen bzw. den Fall der leeren Menge.

Uneigentliche Suprema und Infima für unbeschränkte Mengen

Eine Menge $M$ ist nach oben unbeschränkt, wenn $M$ keine obere Schranke besitzt. Für alle $S\in ℝ$ gibt es also ein $x\in M$ mit $x>S$. Dies ist dann auch die Definition der Unbeschränktheit nach oben:

Wenn $M$ nach oben unbeschränkt ist, schreiben wir nun

Intuitiv lässt sich die Schreibweise gut erklären: „unendlich“ ist größer als jedes Element aus $M$ und gleichzeitig kann es keine obere Schranke kleiner „unendlich“ geben, weil $M$ nach oben unbeschränkt ist. Also ist es sinnvoll, „unendlich“ als Supremum einer nach oben unbeschränkten Menge anzusehen.

Aber Vorsicht! Das Symbol $\mathrm{\infty }$ ist keine reelle Zahl und damit bedeutet $\sup M=\mathrm{\infty }$ auch nicht, dass $\mathrm{\infty }$ Supremum von $M$ wäre, weil Suprema per Definition immer reell sein müssen. Es gibt auch kein Objekt $\mathrm{\infty }$ in unserer Theorie, weil die von uns in den ersten Kapiteln formulierten Axiome kein Objekt $\mathrm{\infty }$ zulassen. Deshalb müsste eine Schreibweise wie $\sup M=\mathrm{\infty }$ von uns abgelehnt werden.

Um diese Widersprüche aufzulösen, sehen wir $\sup M=\mathrm{\infty }$ nur als Kurzschreibweise für den Fakt an, dass $M$ nach oben unbeschränkt ist, und nennen $\mathrm{\infty }$ das uneigentliche Supremum von $M$:

Analog gilt für nach unten unbeschränkte Mengen:

Uneigentliches Supremum und Infimum der leeren Menge

Ein weiterer Sonderfall ist die leere Menge. Hier ist nämlich nicht das Problem, dass es keine oberen beziehungsweise unteren Schranken gibt, sondern zu viele obere und untere Schranken existieren. In den Lehrbüchern findest du dafür folgende Definitionen:

Auch hier handelt es sich um uneigentliche und damit um keine echten Suprema und Infima. Doch wieso ergibt obige Festlegung Sinn?

Gehen wir schrittweise vor: Per Definition ist das Supremum die kleinste obere Schranke einer Menge. Was sind also die oberen Schranken der leeren Menge? Eine Zahl $S$ ist per Definition eine obere Schranke von $\mathrm{\varnothing }$, wenn

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