Mathe für Nicht-Freaks: Supremum und Infimum bestimmen und beweisen

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Allgemeine Vorgehensweise

Um das Supremum oder Infimum einer Menge zu finden, kannst du folgendermaßen vorgehen:

1. Menge veranschaulichen: Überlege dir, wie die Menge aussieht. Hierzu kannst du Skizzen anfertigen oder ggf. auch Computerprogramme verwenden.
2. Hypothese über Supremum und Infimum anstellen: Ist die Menge nach oben beschränkt? Wenn ja, dann überlege dir, welche Zahl das Supremum sein kann. Wenn nein, dann besitzt die Menge kein Supremum. Analog schaue, ob die Menge nach unten beschränkt ist oder nicht, und überlege dir gegebenenfalls, welche Zahl das Infimum sein könnte.
3. Beweise für Supremum und Infimum finden: Überlege dir auf einem Schmierblatt den Beweis dafür, dass die gefundene Zahl ein Supremum oder ein Infimum ist. Die notwendige Beweisstruktur findest du im nächsten Abschnitt.
4. Beweis ins Reine schreiben: Zum Schluss musst du den Beweis aufschreiben. Dabei kannst du dich an der im nächsten Abschnitt folgenden Beweisstruktur für Supremum und Infimum orientieren.

Allgemeine Beweisstrukturen

Die hier aufgelisteten Beweisstrukturen sollten dir helfen, deine Beweise richtig und sauber aufzuschreiben. Sie zeigen dir aber auch, worauf du in der Beweisfindung achten musst.

Supremum: Beweisstruktur

Um zu zeigen, dass eine Zahl $s$ Supremum einer Menge $M$ ist, kannst du folgendermaßen vorgehen:

1. Beweise, dass $s$ eine obere Schranke von $M$ ist: Zeige hierzu, dass $y\le s$ für alle $y\in M$ ist.
2. Beweise, dass keine Zahl $x<s$ obere Schranke von $M$ ist: Nimm hierzu ein beliebiges $x<s$ und zeige, dass es ein $y\in M$ gibt mit $y>x$.

Infimum: Beweisstruktur

Beweise, dass $\tilde{s}$ Infimum einer Menge $M$ ist, können so aussehen:

1. Beweise, dass $\tilde{s}$ eine untere Schranke von $M$ ist: Zeige hierzu, dass $y\ge \tilde{s}$ für alle $y\in M$ ist.
2. Beweise, dass keine Zahl $x>\tilde{s}$ untere Schranke von $M$ ist: Nimm hierzu ein beliebiges $x>\tilde{s}$ und zeige, dass es ein $y\in M$ gibt mit $y<x$.

Maximum: Beweisstruktur

Hier kann man direkt der Definition des Maximums folgen:

1. Beweise, dass $m$ eine obere Schranke von $M$ ist: Zeige hierzu, dass $y\le m$ für alle $y\in M$ ist.
2. Zeige, dass $m\in M$ ist.

Minimum: Beweisstruktur

Um zu zeigen, dass $\tilde{m}$ Minimum der Menge $M$ ist, kann man analog zum Maximum vorgehen:

1. Beweise, dass $\tilde{m}$ eine untere Schranke von $M$ ist: Zeige hierzu, dass $y\ge \tilde{m}$ für alle $y\in M$ ist.
2. Zeige, dass $\tilde{m}\in M$ ist.

Beispielaufgaben für Supremum und Infimum

Endliche Mengen

Bei endlichen Mengen reeller Zahlen ist die Bestimmung des Infimums und Supremums einfach. Diese Mengen müssen nämlich immer ein Maximum und ein Minimum besitzen. Das Maximum der Menge ist automatisch Supremum und das Minimum ist automatisch Infimum der Menge.

Intervalle

Die Bestimmung des Infimums und Supremums bei Intervallen ist recht einfach, da der untere Randpunkt stets das Infimum und der obere Randpunkt stets das Supremum ist:

Menge von Folgengliedern

Die Menge $M=\{5+\frac{2}{n}:n\in \mathbb{N}\}$.

Wir werden nun folgende Aufgabe beweisen:

Menge von Funktionswerten

Datei:Supremum bestimmen und beweisen.webm Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe

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