Mathe für Nicht-Freaks: Supremum und Infimum: Eigenschaften

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Da das Supremum auf Mengen angewandt wird, ist eine sehr naheliegende Frage: Was passiert mit dem Supremum, wenn wir die Menge verändern? Wenn wir sie mit einer anderen Menge beispielsweise schneiden oder vereinigen, wenn wir sie größer oder kleiner machen? Hier werden wir einige Regeln kennen lernen, die dir helfen werden, mit dem Supremum zu arbeiten.

Übersicht der Regeln zum Supremum und Infimum

Wir definieren zuerst einige Kurzschreibweisen.

Für das Supremum und Infimum gelten folgende Regeln. Dabei ist $A,B,D\subseteq ℝ$ und $f,g:D\to ℝ$ sowie $\lambda \in ℝ$. Im Folgenden wird immer angenommen, dass das Supremum beziehungsweise das Infimum existiert.

Regeln für das Supremum

• $\sup A\ge \inf A$
• $A\subseteq B\Rightarrow \sup A\le \sup B$

• $\sup (A\cup B)=\max \{\sup A,\sup B\}$
• $\sup (A\cap B)\le \min \{\sup A,\sup B\}$
• $\sup (-A)=\sup (\{-x:x\in A\})=-\inf (A)$
• $\sup (\{x^{-1}:x\in A\})=(\inf (A){)}^{-1}$, falls $\inf (A)>0$ ist.
• $\sup (\lambda A)=\sup (\{\lambda x:x\in A\})=\lambda \cdot \sup (A)$ für $\lambda \ge 0$
• $\sup (A+B)=\sup (\{x+y:x\in A\wedge y\in B\})=\sup (A)+\sup (B)$
• $\sup (A\cdot B)=\sup (\{x\cdot y:x\in A\wedge y\in B\})=\sup (A)\cdot \sup (B)$, falls $A$ und $B$ nur nichtnegative Elemente enthalten.
• $\sup (f+g)(D)\le \sup f(D)+\sup g(D)$
• Es gibt eine Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ aus $A$ mit $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\sup A$.

Das Supremum der Summe zweier Funktionen kann kleiner als die Summe ihrer Suprema sein.

Regeln für das Infimum

• $\inf A\le \sup A$
• $A\subseteq B\Rightarrow \inf A\ge \inf B$
• $\inf (A\cup B)=\min \{\inf A,\inf B\}$
• $\inf (A\cap B)\ge \max \{\inf A,\inf B\}$
• $\inf (-A)=\inf (\{-x:x\in A\})=-\sup (A)$
• $\inf (\lambda A)=\inf (\{\lambda x:x\in A\})=\lambda \cdot \inf (A)$ für $\lambda \ge 0$
• $\inf (A+B)=\inf (\{x+y:x\in A\wedge y\in B\})=\inf (A)+\inf (B)$
• $\inf (A\cdot B)=\inf (\{x\cdot y:x\in A\wedge y\in B\})=\inf (A)\cdot \inf (B)$, falls $A$ und $B$ nur nichtnegative Elemente enthalten.
• $\inf (f+g)(D)\ge \inf f(D)+\inf g(D)$
• Es gibt eine Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ aus $A$ mit $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\inf A$.

Beweis der Regeln

In den folgenden Abschnitten werde ich die obigen Eigenschaften nur für das Supremum beweisen.

Existenz einer Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ in $A$ mit $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\sup A$

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