Mathe für Nicht-Freaks: Stetigkeit der Umkehrfunktion

In diesem Kapitel führen wir einen Satz ein, der eine hinreichende Bedingung gibt, unter der die Umkehrabbildung einer bijektiven Funktion wieder stetig ist. In der Literatur wird der Satz manchmal Satz von der Stetigkeit der Umkehrabbildung oder Umkehrsatz genannt. Das erstaunliche an diesem Resultat ist, dass die Umkehrfunktion einer unstetigen Funktion sehr wohl stetig sein kann.

Motivation

Die stetige und umkehrbare Funktion $f$ mit dem Definitionsbereich $[-1,0]\cup (1,2]$

Wir wollen uns eine möglichst allgemeine Bedingung überlegen, wann eine bijektive Funktion $f:D\to W$ mit $D,W\subseteq ℝ$ eine stetige Umkehrfunktion besitzt. Der erste Ansatzpunkt, den wir dabei natürlicherweise untersuchen, ist die Stetigkeit von $f$. Spontan würden wir vermuten, dass aus der Stetigkeit von $f$ auch die von $f^{-1}$ folgt. Das dem nicht so ist, zeigt folgendes Beispiel:

Die unstetige Umkehrfunktion $g=f^{-1}$

Die Funktion ist stetig, da sie sowohl auf $[-1,0]$ als auch auf $(1,2]$ stetig ist. Außerdem ist sie streng monoton steigend, und damit injektiv. Das Bild von $f$ ist $[-1,1]$ und damit ist $f:([-1,0]\cup (1,2])\to [-1,1]$ surjektiv. Insgesamt ist $f$ bijektiv und damit umkehrbar. Die Umkehrabbildung $f^{-1}:[-1,1]\to ([-1,0]\cup (1,2])$ besitzt die Funktionsvorschrift:

Diese Umkehrfunktion ist nicht stetig, da sie bei $y=0$ eine Sprungstelle besitzt. Es kann also tatsächlich vorkommen, dass eine stetige Funktion eine unstetige Umkehrfunktion besitzt.

Auch eine andere Sache zeigt sich: Die Umkehrfunktion $f^{-1}=g$ ist ebenfalls umkehrbar mit Umkehrfunktion $g^{-1}={\left(f^{-1}\right)}^{-1}=f$. Dies bedeutet aber, dass eine unstetige Funktion (wie $g$) eine stetige Umkehrfunktion haben kann. Wir halten daher fest:

Das Problem liegt im Definitionsbereich von $f$. Dieser ist $[-1,0]\cup (1,2]$, ist also kein Intervall. Der Definitionsbereich ist nicht zusammenhängend und besitzt eine „Lücke“. Wie wirkt sich diese „Lücke“ nun auf die Umkehrfunktion $f^{-1}$ aus?

Da der Definitionsbereich von $f$ der Zielmenge von $f^{-1}$ entspricht, hat somit die Umkehrfunktion diese „Lücke“ in der Zielmenge. Gleichzeitig wird aus der Zielmenge von $f$ der Definitionsbereich von $f^{-1}$. Damit kann aber $f^{-1}$ nicht stetig sein. Der Definitionsbereich von $f^{-1}$ ist ein Intervall und damit zusammenhängend, während die Zielmenge eine Lücke besitzt. Da $f^{-1}$ surjektiv ist und jede Zahl aus dem Zielbereich annehmen muss, muss der Graph von $f^{-1}$ einen Sprung aufweisen. Somit ist $f^{-1}$ unstetig.

Wir müssen daher als Voraussetzung fordern, dass der Definitionsbereich von $f$ ein Intervall ist, um diese Problematik zu verhindern. In der Tat reicht diese Forderung aus, damit $f^{-1}$ stetig ist. Dies werden wir mit Hilfe der $ϵ$-$\delta$-Charakterisierung der Stetigkeit beweisen. Mit Hilfe des Zwischenwertsatzes können wir außerdem folgern, dass der Zielbereich von $f$ und damit der Definitionsbereich von $f^{-1}$ ein Intervall ist.