Mathe für Nicht-Freaks: Stetigkeit beweisen: Epsilon-Delta-Kriterium und Folgenkriterium

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Übersicht

Es gibt mehrere Möglichkeiten die Stetigkeit einer Funktion zu beweisen:

• Verkettungssätze: Wenn die Funktion als Verkettung stetiger Funktionen dargestellt werden kann, ist sie nach den Verkettungssätzen stetig.
• Ausnutzung der lokalen Natur der Stetigkeit: Wenn eine Funktion in einer kleinen Umgebung um einen Punkt dieselbe Funktionsvorschrift wie die einer stetigen Funktion besitzt, dann muss sie an diesem Punkt auch stetig sein.
• Betrachtung des links- und rechtsseitigen Grenzwerts: Wenn man zeigen kann, dass der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert einer Funktion an einer Stelle existiert und gleich dem dortigen Funktionswert ist, dann ist die Funktion an dieser Stelle stetig.
• Nachweis Folgenkriterium: Beim Folgenkriterium muss man zeigen, dass der Limes an der betrachteten Stelle in die Funktion gezogen werden kann. Für eine Folge $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ von Argumenten mit Grenzwert $x_0$ muss also gelten $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x_n)=f(x_0)=f\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n\right)$.
• Nachweis Epsilon-Delta-Kriterium: Für jedes $ϵ>0$ muss man zeigen, dass es ein $\delta >0$ gibt, so dass für alle Argumente $x$ mit Abstand kleiner als $\delta$ von der betrachteten Stelle $x_0$ die Ungleichung $|f(x)-f(x_0)|<ϵ$ erfüllt ist.

Verkettung stetiger Funktionen

Allgemeine Beweisskizze

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Beispielaufgabe

{{#lst:Mathe für Nicht-Freaks: Komposition stetiger Funktionen|Aufgabe:Stetigkeit einer verketteten Wurzelfunktion}}

Ausnutzung der lokalen Natur der Stetigkeit

Gegebenenfalls kann man ausnutzen, dass die Stetigkeit eine lokale Eigenschaft ist. Wenn eine Funktion nämlich in einer kleinen Umgebung um einen Punkt dieselbe Funktionsvorschrift wie die einer stetigen Funktion besitzt, dann muss sie an diesem Punkt auch stetig sein. Betrachte zum Beispiel die Funktion $f:ℝ\setminus \{0\}\to ℝ$ mit $f(x)=1$ für positive Zahlen $x$ und $f(x)=-1$ für negative Zahlen $x$. Nehmen wir nun eine beliebige positive Zahl $x_0$. In einer hinreichend kleinen Umgebung um $x_0$ ist $f$ konstant $1$:

Die Funktion f ist in einer hinreichend kleinen Umgebung um positive Argumente konstant 1.

Da konstante Funktionen stetig sind, ist auch $f$ an der Stelle $x_0$ stetig. Analog kann man zeigen, dass $f$ auch bei negativen Zahlen und damit insgesamt stetig ist. Im Beweis kann man schreiben:

Eine solche Argumentation kann oft bei Funktionen angewandt werden, die über eine Fallunterscheidung definiert sind. Unsere Funktion $f$ ist hierfür ein gutes Beispiel. Schließlich ist sie definiert als:

Jedoch kann nicht bei allen Fallunterscheidungen allein mit der lokalen Natur der Stetigkeit argumentiert werden. Nehmen wir folgende Funktion $g$:

Für alle Stellen ungleich Null können wir so wie in diesem Abschnitt beschrieben einen Beweis formulieren, dass dort die Funktion stetig ist. An der Stelle $x_0=0$ muss anders argumentiert werden. Hier könnte zum Beispiel der links- und rechtsseitige Grenzwert betrachtet werden.

Folgenkriterium

Wiederholung: Folgenkriterium

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Allgemeine Beweisstruktur

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Beispielaufgabe

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Epsilon-Delta-Kriterium Vorlage:Anker

Wiederholung: Epsilon-Delta-Kriterium

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Allgemeine Beweisstruktur

In Quantorenschreibweise lautet die Epsilon-Delta-Definition der Stetigkeit einer Funktion $f$ an der Stelle $x_0$:

Diese Aussageform gibt eine allgemeine Beweisstruktur für Stetigkeitsbeweise mit dem Epsilon-Delta-Kriterium vor:

Beispielaufgaben und allgemeines Vorgehen

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Übungsaufgaben

Folgenkriterium: Betragsfunktion

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Epsilon-Delta-Kriterium: Lineare Funktion

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Epsilon-Delta-Kriterium: Verkettete Betragsfunktion

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Epsilon-Delta-Kriterium: Hyperbel

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Epsilon-Delta-Kriterium: Verkettete Wurzelfunktion

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