Mathe für Nicht-Freaks: Regelintegral

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|oben}} Beim Regel-Integral handelt es sich um eine Alternative zum Riemann-Integral. Es ist damit um eine weitere Möglichkeit, den anschaulichen Integralbegriff aus der Schule mathematisch präzise zu erfassen.

Regelfunktion

Definition

Wir wollen für solche Regelfunktionen das Regelintegral durch $R(f)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }R(f_n)$ definieren. Dabei wird das Regelintegral einer Treppenfunktion kanonisch definiert. Darüber hinaus müssen wir nur zeigen, dass ein solch definierter Integralbegriff für Regelfunktionen tatsächlich wohldefiniert und sinnvoll ist.

Aber lasst uns erst mal eine Intuition für solche Regelfunktionen kriegen:

• Jede stetige Funktion ist Regelfunktion

• Indikatorfunktion auf irrationalen Zahlen ist keine Regelfunktion

Wie geben hiermit eine andere, äquivalente Charakterisierung von Regelfunktionen (ohne Beweis):

Regelintegral

Nun möchten wir uns dem Integralbegriff für Regelfunktionen, also dem Regelintegral, zuwenden. Mögliche Probleme für die Wohldefiniertheit können die folgenden sein:

Sei $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine gleichmäßig approximierende Funktionsfolge von Treppenfunktionen:

• Wieso sollte der Ausdruck $R(f)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }R(f_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_n(x)$ überhaupt konvergieren?
• Erhalte ich stets denselben Grenzwert $R(f)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }R(f_n)$ für das Integral, auch für unterschiedliche Folgen von approximierenden Treppenfunktionen?

Es stellt sich heraus, dass das Regelintegral einfacher als das Riemann-Integral zu definieren ist. Genau genommen gilt sogar:

Andererseits gibt es aber Funktionen, die Riemann-integrierbar - jedoch nicht regelintegrierbar - sind.

Beispiel

Nämlich gilt, dass eine Funktion $f:[a,b]\to ℝ$ genau dann Riemann-integrierbar ist, wenn es für jedes $ϵ>0$ Treppenfunktionen $g,h:[a,b]\to ℝ$ mit $g(x)\le f(x)\le h(x)$ (für alle $x\in [a,b]$) gibt, sodass $I(h)-I(g)<ϵ$ gilt. Riemann-integrierbare Funktionen sind also solche Funktionen, die sich durch zwei Treppenfunktionen einschließen lassen, bei denen der Unterschied derer Integrale beliebig klein werden kann. Regelfunktionen, d.h. regelintegrierbare Funktionen, müssen dahingegen gleichmäßig durch Treppenfunktionen approximierbar sein, welches eine stärkere Anforderung an die Funktion ist.

Wie können wir das Integral $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$ für eine Treppenfunktion $f$ berechnen? Vorlage:Todo Anschaulich entspricht das Integral der Fläche unter dem Graphen. Diese Fläche können wir in $n$ Rechtecke unterteilen. Das $i$-te Rechteck hat die Breite $x_{i+1}-x_i$ und die Höhe $c_i$. Insgesamt ergibt sich also für die Fläche unter dem Graphen von $f$ Vorlage:Einrücken

Wir beweisen nun, dass dies dem Integral $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$ entspricht.

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