Mathe für Nicht-Freaks: Rechenregeln der bestimmten Divergenz

Am Ende des letzten Kapitels hatten wir bereits erwähnt, dass wir die Rechenregeln für konvergente Folgen nicht einfach auf uneigentlich konvergente Folgen anwenden dürfen. Konvergiert beispielsweise eine Folge $(a_n)$ (uneigentlich) gegen $\mathrm{\infty }$ und eine weitere Folge $(b_n)$ (eigentlich) gegen $0$, so ist es unmöglich, eine Aussage über die Konvergenz/Divergenz der Produktfolge zu machen! Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe

Rechenregeln für uneigentlich konvergente Folgen

Nun werden wir uns überlegen, inwiefern wir unter bestimmten Einschränkungen trotzdem Regeln für uneigentlich konvergente Folgen herleiten können. Wir werden sehen, dass auch hier, unter Berücksichtigung der Voraussetzungen, Summen-, Produkt-, und Quotientenregeln gelten.

Produktregel

Überlegen wir uns zunächst, inwiefern wir die Produktregel übertragen können. Wir setzen voraus, dass $(a_n)$ eine Folge mit $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }$ ist, und überlegen uns, was mit der Produktfolge $(a_n{b}_n)$ passiert. Da wir oben schon bemerkt haben, dass der Fall $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=0$ Probleme bereitet, schließen wir diesen aus.

1. Fall: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=\mathrm{\infty }$. In dieser Fall ist es intuitiv vollkommen klar, dass auch $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n{b}_n=\mathrm{\infty }$ gelten sollte. Dies müssen wir aber formal sauber beweisen. Wir müssen also zeigen: Vorlage:Einrücken Sei daher so ein $S\in ℝ$ vorgegeben. Wegen $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }$ gibt es dann ein $N_1\in \mathbb{N}$ mit $a_n\ge \sqrt{|S|}$ für alle $n\ge N_1$. Analog gibt es wegen $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=\mathrm{\infty }$ ein $N_2\in \mathbb{N}$ mit $b_n\ge \sqrt{|S|}$ für alle $n\ge N_2$. Für alle $n\ge N=max\{N_1,N_2\}$ gilt somit Vorlage:Einrücken Also gilt $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n{b}_n=\mathrm{\infty }$.

2. Fall: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=-\mathrm{\infty }$. Auch in diesem Fall ist intuitiv klar, dass auch $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n{b}_n=-\mathrm{\infty }$ gelten sollte. Wir müssen also zeigen: Vorlage:Einrücken Sei daher $S\in ℝ$ vorgegeben. Wegen $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }$ gibt es ein $N_1\in \mathbb{N}$ mit $a_n\ge \sqrt{|S|}$ für alle $n\ge N_1$. Analog gibt es wegen $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=-\mathrm{\infty }$ ein $N_2\in \mathbb{N}$ mit $b_n\le -\sqrt{|S|}$ für alle $n\ge N_2$. Für alle $n\ge N=max\{N_1,N_2\}$ gilt somit Vorlage:Einrücken Also gilt $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n{b}_n=-\mathrm{\infty }$.

3. Fall: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=b>0$. In diesem Fall sollte wie im 1.Fall $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n{b}_n=\mathrm{\infty }$ gelten. Wir müssen also wieder zeigen: Vorlage:Einrücken Sei daher $S\in ℝ$ vorgegeben. Wegen $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=b$ gibt es zu jedem $ϵ>0$ ein $N_1\in \mathbb{N}$ mit $|b_n-b|<ϵ$ für alle $n\ge N_1$. Setzen wir $ϵ=\frac{b}{2}$, so gilt daher $\mathrm{\forall }n\ge N_1$: $|b_n-b|<\frac{b}{2}$, also insbesondere $b_n>\frac{b}{2}>0$. Wegen $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }$ gibt es ein $N_2\in \mathbb{N}$ mit $a_n\ge \frac{|S|}{\frac{b}{2}}=\frac{2|S|}{b}\ge 0$ für alle $n\ge N_1$. Für alle $n\ge N=max\{N_1,N_2\}$ gilt somit Vorlage:Einrücken Also ist $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n{b}_n=\mathrm{\infty }$.

4. Fall: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=b<0$. Hier gilt $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n{b}_n=-\mathrm{\infty }$. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe

Die vier Fälle lassen sich auch kompakt zusammenfassen. Dazu führen wir folgende praktische Erweiterung der reellen Zahlen ein: Wir erweitern $ℝ$ durch $\pm \mathrm{\infty }$ und erhalten so die Menge $\overline{ℝ}=ℝ\cup \{\pm \mathrm{\infty }\}$. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Summenregel

Sei erneut $(a_n)$ eine Folge mit $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }$. Die Frage ist nun, wie es sich mit dem Grenzwert der Summenfolge $(a_n+b_n)$ verhält. Uns wir schnell klar, dass hier der kritische Fall $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=-\mathrm{\infty }$ ist. In diesem Fall ist es unmöglich, eine allgemeine Aussage über das Konvergenzverhalten von $(a_n+b_n)$ zu machen. Für $a_n=n$ und $b_n=-n$ gilt beispielsweise $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n+b_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}0=0$, für $a_n=2n$ und $b_n=-n$ gilt $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n+b_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n=\mathrm{\infty }$. Wir schließen daher den Fall $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=-\mathrm{\infty }$ aus, und betrachten nur die übrigen relevanten Fälle:

1. Fall: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=\mathrm{\infty }$. Hier ist klar, dass $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n+b_n=\mathrm{\infty }$ gelten muss. Wir müssen zeigen: Vorlage:Einrücken Sei $S\in ℝ$ vorgegeben. Wegen $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }$ gibt es dann ein $N_1\in \mathbb{N}$ mit $a_n\ge \frac{S}{2}$ für alle $n\ge N_1$. Analog gibt es wegen $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=\mathrm{\infty }$ ein $N_2\in \mathbb{N}$ mit $b_n\ge \frac{S}{2}$ für alle $n\ge N_2$. Für alle $n\ge N=max\{N_1,N_2\}$ gilt somit Vorlage:Einrücken Also ist $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n+b_n=\mathrm{\infty }$.

2. Fall: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=b\in ℝ$. Hier gilt ebenfalls $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n+b_n=\mathrm{\infty }$. Auch hier müssen wir zeigen:

Vorlage:Einrücken

Sei $S\in ℝ$ vorgegeben. Wegen $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=b$ gibt es dann zu jedem $ϵ>0$ ein $N_2\in \mathbb{N}$ mit $|b_n-b|<ϵ$ für alle $n\ge N_2$. Insbesondere auch für $ϵ=1$. Also gilt $b_n>b-1$ für alle $n\ge N_2$. Wegen $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }$ gibt es außerdem ein $N_1\in \mathbb{N}$ mit $a_n\ge S-b+1$ für alle $n\ge N_1$. Für alle $n\ge N=max\{N_1,N_2\}$ gilt somit

Also ist $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n+b_n=\mathrm{\infty }$.

Die beiden Fälle fassen wir wieder zusammen:

Inversionsregeln

Auch die nächste Regel ist intuitiv vollkommen logisch. Ist $(a_n)$ eine Folge mit $a_n\ne 0$ für alle $n\in \mathbb{N}$ und $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }$ oder $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=-\mathrm{\infty }$, so muss $\left(\frac{1}{a_n}\right)$ eine Nullfolge sein.

1.Fall: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }$. Wir müssen zeigen Vorlage:Einrücken Sei $ϵ>0$ vorgegeben. Wegen $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }$ gibt es zu $S=\frac{1}{ϵ}+1$ ein $N\in \mathbb{N}$, so dass $\mathrm{\forall }n\ge N$ gilt $a_n\ge \frac{1}{ϵ}+1$. Damit gilt $\mathrm{\forall }n\ge N$ auch Vorlage:Einrücken Somit ist $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$.

2.Fall: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=-\mathrm{\infty }$. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe

Wir halten das Ergebnis noch einmal fest: Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Die Frage ist nun, wie wir die Voraussetzungen einschränken müssen, damit auch die Rückrichtung der Inversionsregel gilt. Bei dem Gegenbeispiel war das Problem, dass die Folge $((-1{)}^{n}n)$ alternierend war. Daher gibt es unendlich viele Folgenglieder, die positiv sind, und unendlich viele Folgenglieder, die negativ sind. Fordern wir als zusätzliche Voraussetzung an $(a_n)$, dass entweder nur endlich viele Folgenglieder negativ, oder nur endlich viele Folgenglieder positiv sind, so tritt das Problem nicht mehr auf.

1.Fall: Sei zunächst $(a_n)$ eine Folge mit $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{a_n}=0$, alle Folgenglieder seien $\ne 0$ und und fast alle Folgenglieder seien positiv. Dann ist es intuitiv klar, dass $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }$ gilt. Zum Beweis müssen wir zeigen: Vorlage:Einrücken Sei $S\in ℝ$ gegeben. Da $\left(\frac{1}{a_n}\right)$ eine Nullfolge ist, gibt es zu $ϵ=\frac{1}{|S|}>0$ ein $\tilde{N}\in \mathbb{N}$ mit $\left|\frac{1}{a_n}\right|<\frac{1}{|S|}$ für alle $n\ge \tilde{N}$. Da fast alle Folgenglieder von $(a_n)$ positiv sind, gibt es ein $N\ge \tilde{N}$ mit $\left|\frac{1}{a_n}\right|=\frac{1}{a_n}<\frac{1}{|S|}$ für alle $n\ge N$. Damit gilt nun $a_n\ge |S|\ge S$ für alle $n\ge N$. Also ist $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }$.

2.Fall: Sei nun $(a_n)$ eine Folge mit $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{a_n}=0$, alle Folgenglieder seien $\ne 0$ und fast alle Folgenglieder seien negativ. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe

Wir halten die beiden Fälle für die Rückrichtung der Inversionsregel noch einmal fest Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Quotientenregel

Als nächstes wenden wir uns Quotientenfolgen mit uneigentlichen Grenzwerten zu. Seien also $(a_n)$ und $(b_n)$ Folgen mit $b_n\ne 0$ für alle $n\in \mathbb{N}$ und $\left(\frac{a_n}{b_n}\right)$ die daraus gebildete Quotientenfolge.

Zunächst setzen wir $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=\mathrm{\infty }$ voraus. Klar ist, dass wir die Fälle $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\pm \mathrm{\infty }$ ausschließen müssen, denn hier können wir keine allgemeine Aussage über das Konvergenz-/Divergenzverhalten der Quotientenfolge machen. Sei daher $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a\in ℝ$. Dann gilt $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=0$. Wir müssen dazu zeigen Vorlage:Einrücken Sei $ϵ>0$ vorgegeben. Wegen $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a$ ist $(a_n)$ beschränkt, d.h. es gibt ein $K>0$ mit $|a_n|\le K$ für alle $n\in \mathbb{N}$. Weiter gilt, wegen $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=\mathrm{\infty }$, nach der Inversionsregel $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{b_n}=0$. Also gibt es ein $N\in \mathbb{N}$ mit $\left|\frac{1}{b_n}\right|<\frac{ϵ}{K}$ für alle $n\ge N$. Damit gilt $\mathrm{\forall }n\ge N$: Vorlage:Einrücken Somit ist $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=0$.

Völlig analog gilt im Fall $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=-\mathrm{\infty }$ und $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a\in ℝ$ ebenfalls $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=0$.

Zusammen ergibt sich Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Nun setzen wir für die Zählerfolge fest: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }$. Wieder müssen wir die Fälle $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=\pm \mathrm{\infty }$ ausschließen.

1.Fall: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=b>0$. Hier gilt $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=\mathrm{\infty }$. Zum Beweis haben wir zu zeigen: Vorlage:Einrücken Sei $S\in ℝ$ gegeben. Da $\left(b_n\right)$ gegen $b>0$ konvergiert, gibt es ein $N_1\in \mathbb{N}$, so dass $b_n\le \frac{3}{2}b$ für alle $n\ge N_1$. Wegen $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }$ gibt es ein $N_2\in \mathbb{N}$ mit $a_n\ge \frac{3}{2}b|S|$ für alle $n\ge N_2$. Damit gilt für alle $n\ge N=max\{N_1,N_2\}$: Vorlage:Einrücken Also ist $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=\mathrm{\infty }$.

2.Fall: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=0$ und fast alle $b_n$ seien positiv. Hier gilt ebenfalls $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=\mathrm{\infty }$. Zum Beweis müssen wir erneut zeigen: Vorlage:Einrücken Sei $S\in ℝ$ gegeben. Da $\left(b_n\right)$ gegen $0$ konvergiert und fast alle Folgenglieder positiv sind, gibt es ein $N_1\in \mathbb{N}$ mit $b_n\le \frac{1}{2}$ für alle $n\ge N_1$. Wegen $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }$ gibt es ein $N_2\in \mathbb{N}$ mit $a_n\ge \frac{1}{2}|S|$ für alle $n\ge N_2$. Damit gilt für alle $n\ge N=max\{N_1,N_2\}$: Vorlage:Einrücken Also ist $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=\mathrm{\infty }$.

Zusammengefasst lautet die zweite Version der Quotientenregel Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Minorantenkriterium für Folgen

Intuitiv ist dieses Kriterium vollkommen klar. Haben wir eine Folge $(x_n)$ gegeben und wissen wir von einer weiteren Folge $(y_n)$, dass diese "kleiner oder gleich" $(x_n)$ ist für fast alle $n\in \mathbb{N}$ und uneigentlich gegen $\mathrm{\infty }$ konvergiert, so muss auch $(x_n)$ uneigentlich gegen $\mathrm{\infty }$ konvergieren. Beweisen können wir dies folgendermaßen: Wir müssen zeigen Vorlage:Einrücken Sei also $S\in ℝ$ gegeben. Wegen $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{y}_n=\mathrm{\infty }$ gibt es ein $\tilde{N}\in \mathbb{N}$ mit $y_n\ge S$ für alle $n\ge \tilde{N}$. Wegen $x_n\ge y_n$ für fast alle $n\in \mathbb{N}$ existiert ein $N\ge \tilde{N}$ mit $x_n\ge y_n\ge S$ für alle $n\ge N$. Also gilt $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=\mathrm{\infty }$.

Halten wir noch einmal fest: Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz