Mathe für Nicht-Freaks: Potenzgleichungen

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Lösungen der Potenzgleichung

Vorlage:Todo In diesem Abschnitt sollen die bisherigen Ergebnisse aus dem Kapitel zur Wurzel genutzt werden, um alle reellen Lösungen einer Potenzgleichung $x^n=a$ zu bestimmen.

1. Fall: a ist 0

Hier ist $x=0$ die einzige Lösung der Gleichung $x^n=0$ für alle $n\in \mathbb{N}$. Zum einen folgt aus $0^n=0$, dass null eine Lösung der Potenzgleichung ist. Zum anderen ist $x^n\ne 0$ für alle $x\ne 0$, da ein Produkt von zwei Zahlen ungleich null stets wieder ungleich null ist. Damit ist $x=0$ die einzige Lösung von $x^n=0$.

2. Fall: a positiv und n gerade

Sei $a>0$ und $n=2k$ mit $k\in \mathbb{N}$ eine gerade Zahl. Für diesen Fall benötigen wir die Hilfaussage $x^2=|x{|}^2$, falls $x$ eine reelle Zahl ist. Diese folgt direkt aus der Definition des Betrags: Ist $x\ge 0$, so ist $|x|=x$, und daher $|x{|}^2=x^2$. Ist andererseits $x<0$, so ist $|x|=-x$, und somit $|x{|}^2=(-x{)}^2=x^2$.

Damit folgt für unsere Potenzgleichung

Nun ist aber $|x|=y>0$. Also ist nach der Definition der Wurzel $y=|x|=\sqrt[n]{a}$. Damit ergeben sich als Lösung der Potenzgleichung $x^k=a$ genau die beiden Lösungen:

3. Fall: a negativ und n gerade

In diesem Fall hat die Gleichung $x^n=a$ keine Lösung, wie wir oben schon erwähnt hatten. Es gilt nämlich $x^2\ge 0$ für alle reellen $x$. Damit gilt aber auch $(x^2{)}^k=x^{2k}=x^n\ge 0$.

4. Fall: a positiv und n=2k+1 ungerade

In diesem Fall hat die Gleichung $x^n=a$ die eindeutige Lösung Vorlage:Einrücken Nach Definition der Wurzel ist $\sqrt[n]{a}$ die einzige positive Lösung der Potenzgleichung $x^n=a$. Weitere negative Lösungen kann diese nicht haben, denn für jedes $x<0$ gilt

5. Fall: a negativ und n=2k+1 ungerade

In diesem Fall hat die Gleichung $x^n=a$ die eindeutige Lösung

Da $\tilde{a}>0$, ist dies nach Fall 4 äquivalent zu $y=\sqrt[n]{\tilde{a}}$, also zu $-x=\sqrt[n]{-a}$. Dies bedeutet aber

Anwendung: abc-Formel

Wir wollen nun die aus der Schule bekannte abc-Formel zur Berechung der Lösungen einer quadratischen Gleichung bestimmen. Wir suchen also alle reellen $x$, die für beliebige $a,b,c\in ℝ$ die Gleichung

erfüllen. Um diese zu bestimmen, wandeln wir die quadratische Gleichung in eine Potenzgleichung 2. Grades (d.h. $k=2$) um. Dazu verwenden wir das aus der Schule ebenfalls bekannte Prinzip der quadratischen Ergänzung.

Setzen wir nun $y=x+\frac{b}{2a}$ und $e=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$, so erhalten wir die Potenzgleichung $y^2=e$. Diese ist lösbar, falls Vorlage:Einrücken ist, und hat nach dem 2. Fall von oben dann die Lösungen $y_1=\sqrt{e}$ und $y_2=-\sqrt{e}$. Also ist Vorlage:Einrücken Nach den Rechenregeln für Wurzeln ist Vorlage:Einrücken Wir erhalten damit die zwei Lösungen

Anmerkungen zur abc-Formel:

• Die Zahl $D=b^2-4ac$, welche man bei den Lösungen unter der Wurzel vorfindet, nennt sich Diskriminante. Mit dem oben Gezeigten gilt

• Setzen wir $a=1$, $b=p$ und $c=q$, so erhalten wir die Lösungen der Gleichung $x^2+px+q=0$ mit der pq-Formel:

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