Mathe für Nicht-Freaks: Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien

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Entscheidungsbaum zur Konvergenz und Divergenz von Reihen

Wir haben geklärt, dass eine Reihe $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ der Folge $S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$ der Partialsummen entspricht. Eine Reihe konvergiert, wenn die Folge der Partialsummen konvergiert. Ansonsten divergiert die Reihe. Im Fall der Konvergenz entspricht $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ auch dem Grenzwert der Partialsummenfolge.

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Frage, woran man erkennen kann, ob eine Reihe konvergiert oder divergiert. Zur Beantwortung dieser Frage gibt es nämlich diverse Konvergenzkriterien, die wir nun betrachten. Diese Konvergenzkriterien werden wir in den nächsten Kapiteln detaillierter besprechen.

Kriterien für Konvergenz

Die Beweise der folgenden Sätze sind in den Hauptartikeln des jeweiligen Kriteriums behandelt. Gegeben sei eine Reihe $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$. Es gibt folgende Kriterien, um die Konvergenz dieser Reihe festzustellen:

Kriterien für Divergenz

Gegeben sei eine Reihe $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$. Es gibt folgende Kriterien, um die Divergenz dieser Reihe festzustellen:

Anfangswert des Laufindex ist für Konvergenzverhalten egal

Im Abschnitt zum Cauchy-Kriterium haben wir festgestellt, dass es für die Frage der Konvergenz egal ist, ab welchem Anfangswert der Laufindex startet. Wenn wir also eine Reihe der Form $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ haben, dann können wir auch die Reihen $\sum _{k=10}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ oder $\sum _{k=4223}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ betrachten. Alle diese Reihen haben dasselbe Konvergenzverhalten. Merke dir also:

Durch das Ändern von endlich vielen Summanden änderst du zwar den Wert der Reihe, das Konvergenzverhalten bleibt aber erhalten. Dieser Umstand ist nützlich, und du solltest dies immer im Hinterkopf haben. Es kann insbesondere in solchen Fällen hilfreich sein, in denen du dich nur für das Konvergenzverhalten einer Reihe interessierst, nicht aber für ihren Wert.

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