Mathe für Nicht-Freaks: Komplexe Konjugation und Betrag komplexer Zahlen

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Betrag einer komplexen Zahl

Motivation des Betrags

Im Umgang mit den reellen Zahlen haben wir die Betragsfunktion $|\cdot |:ℝ\to {ℝ}_{\ge 0}$ kennengelernt, mit der wir den absoluten Abstand zur Zahl Null angeben konnten. An der reellen Zahlengerade visualisiert sieht das wie folgt aus:

Betrag von reellen Zahlen

Auch in der komplexen Ebene können wir den Abstand einer komplexen Zahl zum Nullpunkt bestimmen. Hierzu verwenden wir den Satz des Pythagoras. Sei $z=a+b\mathrm{i}$ eine komplexe Zahl:

Die komplexe Zahl z mit dem Realteil a und den Imaginärteil b

Mit dem Satz des Pythagoras gilt für den Abstand $|z|$ vom Nullpunkt die Gleichung $|z{|}^2=\mathrm{Re}(z{)}^2+\mathrm{Im}(z{)}^2=a^2+b^2$. Durch Wurzelziehen auf beiden Seiten, kann $|z|$ bestimmt werden. Es ist nämlich:

Mit dem Betrag können einige Konzepte der reellen Zahlen auf die komplexen Zahlen übertragen werden. So wie $|x-y|$ in den reellen Zahlen der Abstand zwischen $x$ und $y$ ist, so ist auch $|z-w|$ in den komplexen Zahlen der Abstand zwischen $z$ und $w$. Mit dem Abstand wiederum können Begriffe wie der Grenzwert definiert werden: Eine komplexe Zahl$z$ ist genau dann der Grenzwert einer Folge $(z_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ von komplexen Zahlen, wenn der Abstand $|z-z_n|$ zwischen dem Grenzwert $z$ und den Folgengliedern $z_n$ beliebig klein wird.

Komplexe Konjugation

Motivation der Konjugation

Die imaginäre Einheit $\mathrm{i}$ erfüllt als eine Wurzel von $-1$ die Gleichung ${\mathrm{i}}^2=-1$. Wir können uns die Multiplikation $x\mapsto -1\cdot x$ als eine $180^{\circ }$-Drehung um den Nullpunkt vorstellen. Nun ist die Multiplikation $x\mapsto -1\cdot x$ wegen der Gleichung ${\mathrm{i}}^2=-1$ dasselbe wie $x\mapsto \mathrm{i}\cdot (\mathrm{i}\cdot x)$. Damit ist $x\mapsto \mathrm{i}\cdot x$ eine Operation, die bei zweifacher Anwendung einer $180^{\circ }$-Drehung entspricht.

Es ist naheliegend, dass die Multiplikation mit $\mathrm{i}$ einer $90^{\circ }$-Drehung entspricht. Damit ist die imaginäre Einheit $\mathrm{i}$ wegen $\mathrm{i}=\mathrm{i}\cdot 1$ gleich derjenigen Zahl, die aus einer Drehung um $90^{\circ }$ der Zahl $1$ entsteht:

Rotation der 1 um 90° ergibt i

Allgemein gängig ist es, gegen den Uhrzeigersinn zu drehen. So liegt $\mathrm{i}$ dort, wo im $ℝ\times ℝ$ die $1$ auf der $y$-Achse liegt. Jedoch hätte man genau so gut im Uhrzeigersinn drehen können. Dann läge das $\mathrm{i}$ an der Stelle der $-1$ auf der $y$-Achse:

Rotation der 1 um -90° ergibt -i

Auch über diese alternative Drehung hätten wir die komplexen Zahlen herleiten können. So hätten wir eine andere Menge von komplexen Zahlen erhalten, bei der die imaginäre Einheit $\mathrm{i}$ unterhalb der $x$-Achse liegt. Bei dieser alternativen Menge von komplexe Zahlen sind die Rollen von $\mathrm{i}$ und $-\mathrm{i}$ vertauscht. Wenn wir also überall $\mathrm{i}\leftrightarrow -\mathrm{i}$ vertauschen, sollten wesentliche Eigenschaften und Strukturen, die durch die Zahlenbereichserweiterung gewonnen wurden, erhalten bleiben. Eine solche Vertauschung entspricht der Abbildung:

Bei dieser Abbildung wird der Imaginärteil mit $-1$ multipliziert. Dies entspricht einer Spiegelung der komplexen Zahl an der reellen Achse, also der $x$-Achse:

Komplexe Konjugation veranschaulicht

Ein Beispiel hierfür sind die Nullstellen der Funktion $f:ℂ\to ℂ,f(z)=z^2+1$. Es ist $f(\mathrm{i})={\mathrm{i}}^2+1=0$. Daher ist $\mathrm{i}$ eine Nullstelle von $f$. Andererseits gilt auch $f(-\mathrm{i})=(-\mathrm{i}{)}^2+1=0$ und damit ist $-\mathrm{i}$ eine weitere Nullstelle. Betrachten wir $g(z)=z^2-2z+2$ mit der Nullstelle $1+\mathrm{i}$. Man könnte meinen, dass das Negative der Zahl, also $-1-\mathrm{i}$, eine weitere Nullstelle ist. Dies ist leider nicht der Fall. Wenn wir allerdings $\mathrm{i}$ mit $\mathrm{-}i$ austauschen, also die komplexe Zahl $1-\mathrm{i}$ betrachten, erhalten wir eine weitere Nullstelle:

Für die Nullstelle $z=a+b\mathrm{i}$ eines Polynoms scheint das an der reellen Achse gespiegelte $a-b\mathrm{i}$ eine weitere Nullstelle zu sein. Dies ist im Übrigen für alle Polynome mit rein reellen Koeffizienten der Fall. Dies weist darauf hin, dass die Abbildung $a+b\mathrm{i}\mapsto a-b\mathrm{i}$ eine Besondere ist. Diese Abbildung wird komplexe Konjugation genannt.

Übersicht: Eigenschaften des Betrags und der komplexen Konjugation

Eigenschaften der komplexen Konjugation

Für alle $z$ und $w\in ℂ$ gilt:

• $z=\bar{z}⟺\mathrm{Im}(z)=0⟺z\in ℝ$
• $\overline{\stackrel{‾}{w}}=w$
• $\overline{z+w}=\bar{z}+\bar{w}$
• $\overline{z\cdot w}=\bar{z}\cdot \bar{w}$
• $\overline{\sum _{k=1}^n{z}_k}=\sum _{k=1}^n\overline{z_k}$
• $\overline{\prod _{k=1}^n{z}_k}=\prod _{k=1}^n\overline{z_k}$
• $\text{Re}(w)=\frac{1}{2}\cdot (w+\bar{w})$
• $\text{Im}(w)=\frac{1}{2\mathrm{i}}\cdot (w-\bar{w})$
• $|z|=\sqrt{z\cdot \overline{z}}$
• $z^{-1}=\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}$
• $\overline{\left(\frac{z}{w}\right)}=\frac{\bar{z}}{\bar{w}}$

Eigenschaften des Betrags einer komplexen Zahl

Für alle $z$ und $w\in ℂ$ gilt:

• $|z|\ge 0$ und $|z|=0\iff z=0$ (positive Definitheit)
• $|wz|=|w||z|$ (Multiplikativität)
• $|\text{Re}(z)|\le |z|$ und $|\text{Im}(z)|\le |z|$
• $|w+z|\le |w|+|z|$ (Dreiecksungleichung)
• $|z|\le |\text{Re}(z)|+|\text{Im}(z)|$
• $||w|-|z||\le |w-z|$

Rechenregeln der komplexen Konjugation

Verträglichkeit der Konjugation bei endlichen Summen und Produkten

Wir wissen, wie sich die Konjugation bei der Summe und dem Produkt zweier Zahlen verhält. Was passiert bei Summen und Produkten mit drei oder mehr Zahlen wie bei $\overline{z_1+z_2+z_3}$? Wir behelfen uns mit einem Trick: Wir betrachten zuerst $(z_1+z_2)$ als eine einzige komplexe Zahl und benutzen zwei Mal den Satz zum Zusammenhang zwischen Konjugation und Summe:

Es ist auch für drei Summanden egal, ob wir zuerst alles summieren und dann auf die entstandene Zahl die Konjugation anwenden, oder ob wir zuerst jede Zahl konjugieren und dann alles summieren. Dies geht allgemein für beliebig lange Summen und Produkte von komplexen Zahlen, wie wir es im Folgenden formal beweisen werden. Hierzu führen wir einen Induktionsbeweis über die Anzahl der Summanden bzw. Faktoren. Auch verwenden wir die kompakte Schreibweise für endliche Summen und Produkte.

Eigenschaften der komplexen Betragsfunktion

Umgekehrte Dreiecksungleichung

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