Mathe für Nicht-Freaks: Klassenlogik

Was in unserer Logik-Sprache noch fehlt, sind Mengen (Klassen). Im Kapitel Prädikatenlogik haben wir im Beispiel Arithmetik zwei 1-stellige Prädikate $𝒩$ (... ist eine natürliche Zahl) und $𝒢$ (... ist gerade) verwendet. In der Mathematik wird aber statt $𝒩$ die Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ verwendet und statt $𝒩(x)$ wird $x\in \mathbb{N}$ ( x ist ein Element von $\mathbb{N}$ geschrieben. Das Prädikat $𝒢$ wird durch die Definition der Menge der geraden Zahlen $\{x|x\in \mathbb{N}\wedge \mathrm{\exists }z:2\cdot z=x\}$ überflüssig.

Die Sprache der Klassenlogik

Wir erweitern das Alphabet der Prädikatenlogik um das Elementzeichen $\in$ und um den Klassenbildungsoperator $\{|\}$:

Die Regeln 1. und 2. für Terme und die Regeln 1. bis 6. für Formeln entsprechen den Regeln für die Terme und Formeln der Prädikatenlogik. Deshalb gilt:

Klassenlogik und Mengenlehre

In der Sprache der Klassenlogik kann - und wird! - üblicherweise die Elementare Mengenlehre formuliert, vgl. Mengenlehre. Damit das funktioniert müssen für $\in$ und $\{|\}$ die folgenden Prinzipien gelten. Zunächst 3 Definitionen.

Der Zusammenhang zwischen der Klassenbildung $\{x|\cdots \}$ und der Elementrelation $\in$ wird Abstraktionsprinzip genannt:

In Worten: $y$ ist ein Element der Klasse $\{x|A\left(x\right)\}$ genau dann, wenn die Aussage $A(y)$ gilt.

Und für die Gleichheit von Klassen gilt das Extensionalitätsprinzip: zwei Klassen $s$ und $t$ sind gleich wenn sie dieselben Elemente haben.