Mathe für Nicht-Freaks: Häufungspunkt und Berührpunkt einer Menge

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Motivation

Wie im Artikel „Häufungspunkt einer Folge“ bereits erklärt wurde, muss zwischen dem Begriff des Häufungspunktes einer Menge und dem des Häufungspunktes einer Folge sorgfältig unterschieden werden. Im Folgenden wollen wir den Häufungspunkt einer Menge näher untersuchen. Daher soll der Begriff „Häufungspunkt“ in diesem Artikel als Häufungspunkt einer Menge verstanden werden.

Wie der Name Häufungspunkt einer Menge schon erahnen lässt, soll ein Häufungspunkt der Menge $M\subseteq ℝ$ ein Punkt sein, um den sich die Elemente der Menge häufen. Diese vage Formulierung möchten wir etwas konkretisieren.

Wenn sich Elemente der Menge

$M$

um den Punkt

$p\in ℝ$

häufen, so sollten wir zumindest fordern, dass in jedem noch so kleinen offenen Intervall um den Punkt

$p$

mindestens ein Element von

$M$

liegt. Falls dies nicht der Fall wäre, würden wir eine kleine Zahl

$ϵ>0$

finden, so dass für jeden Punkt

$m\in M$

gilt:

$|p-m|\ge ϵ$

.

Punkt

Das würde jedoch bedeuten, dass die Punkte aus

$M$

dem Häufungspunkt

$p$

nicht beliebig nahe kommen könnten, was jedoch unserer Intuition eines Häufungspunktes widersprechen würde.

Halten wir fest, dass wir mindestens Folgendes für einen Häufungspunkt $p\in ℝ$ der Menge $M$ fordern: Für jedes $ϵ>0$ gibt es ein $m\in M$, sodass $|p-m|<ϵ$. Nun fragen wir uns, ob diese Definition ausreichend ist.

Betrachte man dazu die Menge $M=\{1\}$ als Beispiel. Nach der bisherigen Definition wäre $p=1$ ein Häufungspunkt der Menge $M$. Dies wollen wir kurz überprüfen: Sei $ϵ>0$. Da $p\in M$ ist, können wir direkt unser $m=p\in M$ als Element der Menge $M$ hernehmen. Nun folgt, dass $|p-p|=0<ϵ$. Dies zeigt, dass $p=1$ ein Häufungspunkt unserer Menge wäre. Dies ist aber nicht wirklich zufriedenstellend, da sich die Elemente von $M$ nicht wirklich um $p=1$ häufen.

Um dieses Szenario zu vermeiden, verschärfen wir unsere Definition etwas. Wir nennen $p\in ℝ$ einen Häufungspunkt der Menge $M\subset ℝ$, falls für jedes $ϵ>0$ ein von $p$ verschiedenes Element $m\in M$ gibt, sodass $|p-m|<ϵ$ gilt. Mit dieser Definition ist nun $p=1$ kein Häufungspunkt der Menge $M=\{1\}$ mehr. Dies ist ersichtlich, da wir für $ϵ=1/2$ kein von $1$ verschiedenes Element der Menge $M$ finden, sodass $|p-m|<1/2$ gilt. Nachher werden wir sehen, dass aus dieser Definition schon folgt, dass es für jedes $ϵ$ unendlich viele Elemente $m\in M$ gibt, für die $|p-m|<ϵ$ gilt.

Bisher haben wir gesehen, dass Mengen mit einem Element keine Häufungspunkte haben. Wie sieht es aus, wenn wir die Menge $M=\{1\}\cup [2,3]$ betrachten? Wie oben bereits bewiesen wurde, kann $p=1$ kein Häufungspunkt sein.

Hat die Menge

$M$

dann überhaupt Häufungspunkte? Sehen wir uns zuerst das Intervall

$[2,3]$

an. Sei also

$p\in [2,3]$

und

$\min (|2-p|,|3-p|)>ϵ>0$

. Egal wie klein

$ϵ$

ist, nach Definition des Intervalls wird immer entweder

$p-ϵ/2$

oder

$p+ϵ/2$

in

$[2,3]$

liegen. Wir haben also gerade gezeigt, dass alle Punkte im Intervall

$[2,3]$

Häufungspunkte sind.

Ein Häufungspunkt der Menge M

Dies sind auch genau alle Häufungspunkte, da sämtliche Punkte außerhalb von

$M$

in diesem Fall nicht durch Punkte aus

$M$

angenähert werden können (Wie könnte man das durch eine geeignete Wahl von

$ϵ$

beweisen?). Könnte sich dieses Ergebnis ändern, wenn wir

$M=\{1\}\cup (2,3)$

betrachten?

Wozu brauchen wir überhaupt Häufungspunkte? Später werden wir Ableitungen einer Funktion $f:M\to ℝ$ in einem Punkt $x\in M$ definieren und dabei wird es wichtig sein, dass jeder Punkt $x$ ein Häufungspunkt ist, damit die Ableitung an diesem Punkt definiert werden kann.

Häufungspunkt einer Menge

Nun schreibe man die vorherigen Überlegungen sauber auf.

Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition

Eigenschaften von Häufungspunkten

Vorlage:Todo Zuerst möchten wir den Zusammenhang zwischen Häufungspunkten von Mengen und Folgen darstellen. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz Nun möchten wir rechtfertigen, dass ein Häufungspunkt einer Menge wirklich seinen Namen verdient hat und sich die Elemente der Menge um ihn häufen.Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Wie sieht es aus, wenn $M$ nur endlich viele Elemente enthält? Dann kann jede $ϵ$-Umgebung eines Häufungspunktes $p$ von $M$ nur endlich viele Elemente in $M$ enthalten. Somit ist unser zweiter Satz nicht erfüllt und wir folgern: Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz Zur Übung könnte man sich überlegen, wie man diesen Satz direkt aus der Definition beweisen kann.

Berührpunkt

Vorlage:Todo Wie wir gerade gesehen haben, gibt es Punkte, die keine Häufungspunkte sind, jedoch der Grenzwert einer Folge aus der Menge. Diese Punkte sind also fast Häufungspunkte. Sie liegen beliebig nahe an der Menge, jedoch häufen sich die Elemente der Menge nicht um sie. Um diese Punkte auch in einer Definition zu erfassen, führen wir das Konzept des Berührpunktes ein, welches eine Abschwächung eines Häufungspunktes ist.

Eigenschaften von Berührpunkten

Lass uns jetzt ein paar einfache Eigenschaften von Berührpunkten beweisen. Aus der Definition sehen wir sofort, dass jeder Punkt einer Menge $M\subset ℝ$ ein Berührpunkt dieser Menge ist. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz Nun kümmern wir uns um die Beziehung zwischen Berührpunkten und Häufungspunkten. Konkret stellen wir uns die Fragen: Ist jeder Häufungspunkt ein Berührpunkt? Ist jeder Berührpunkt ein Häufungspunkt? Die Antwort auf die erste Frage ist einfach: Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz Kommen wir zur Antwort auf die Frage: Ist jeder Berührpunkt ein Häufungspunkt? Dafür denken wir an das Beispiel in der Motivation mit $M=\{1\}$: Hier ist die Menge der Häufungspunkte leer, die Menge der Berührpunkte enthält aber mindestens den Punkt $\{1\}$, wie wir gerade bewiesen haben. Es ist also bereits klar, dass die Menge der Häufungspunkte von $M$ strikt kleiner als die Menge der Berührpunkte sein kann. Können wir noch mehr sagen? Wenn wir uns nochmal genau die Definitionen von Häufungspunkten und Berührpunkten $p$ anschauen, dann sehen wir, dass diese sich nur darin unterscheiden, ob $p$ im Wertebereich der approximierenden Folge $(m_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ liegen darf oder nicht. Daher folgern wir: Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Beispiele

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