Mathe für Nicht-Freaks: Gesetze der Logik

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Im Folgenden haben wir die wichtigsten Gesetze der Logik für dich zusammengefasst. Für Aussagen nutzen wir die Buchstaben A, B und C, für Aussageformen A(x), B(x), A(x,y) usw.

Aussagenlogik

Die Richtigkeit dieser Gesetze kann mit Wahrheitstabellen bewiesen werden. {{#lst:Mathe für Nicht-Freaks: Tautologie|Tautologien}}

Prädikatenlogik

Negation von quantifizierten Aussagen

  • ¬(∀x:A(x))⇔∃x:¬A(x)
  • ¬(∀x∈M:A(x))⇔∃x∈M:¬A(x)
  • ¬(∃x:A(x))⇔∀x:¬A(x)
  • ¬(∃x∈M:A(x))⇔∀x∈M:¬A(x)

Äquivalenzen über quantifizierte Aussagen

  • ∀x:A(x)⇔¬(∃x:¬A(x))
  • ∃x:A(x)⇔¬(∀x:¬A(x))
  • ∀x:(A(x)∧B(x))⇔∀x:A(x)∧∀x:B(x) (Distributivität ∀ mit ∧)
  • ∃x:(A(x)∨B(x))⇔∃x:A(x)∨∃y:B(y) (Distributivität ∃ mit ∨)
  • (∀x:A(x)⇒C)⇔∃x:(A(x)⇒C)
  • (∃x:A(x)⇒C)⇔∀x:(A(x)⇒C)
  • ∃!x:A(x)⇔∃x:A(x)∧∀x,y:(A(x)∧A(y)⇒x=y) (Umschreibung des eindeutigen Existenzquantors)

Implikationen über quantifizierte Aussagen

  • ∀x:A(x)∨∀x:B(x)⇒∀x:(A(x)∨B(x))
  • ∃x:(A(x)∧B(x))⇒∃x:A(x)∧∃x:B(x)
  • ∀x:(A(x)⇒B(x))⇒(∀x:A(x)⇒∀x:B(x))
  • ∀x:(A(x)⇔B(x))⇒(∀x:A(x)⇔∀x:B(x))
  • ∃x∀y:A(x,y)⇒∀y∃x:A(x,y)

Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis

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