Mathe für Nicht-Freaks: Eigenschaften des Riemannintegrals

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Übersicht: Eigenschaften des Riemannintegrals Vorlage:Anker

• Stetige Funktionen sind riemannintegrierbar.
• Monotonie: Aus $f(x)\le g(x)$ für alle $x\in [a,b]$ folgt ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\le {\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$.
• Summenregel: Wenn $f$ und $g$ riemannintegrierbar sind, dann sind auch $f+g$ riemannintegrierbar und es gilt ${\int }_a^b(f(x)+g(x))\mathrm{d}x={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$.
• Faktorregel: Wenn $f$ riemannintegrierbar ist, dann ist es auch die Funktion $\lambda \cdot f$ mit $\lambda \in ℝ$ und es gilt ${\int }_a^b\lambda f(x)\mathrm{d}x=\lambda {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$.
• Additivität der Grenzen: Seien $a,b,c\in ℝ$ mit $a\le c\le b$ und sei $f:[a,b]\to ℝ$ eine Funktion. Dann ist $f$ genau dann riemannintegrierbar auf dem Intervall $[a,b]$, wenn $f$ auf den Intervallen $[a,c]$ und $[c,b]$ jeweils riemannintegrierbar ist. In diesem Fall gilt ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_c^{b}f(x)\mathrm{d}x$.
• Dreiecksungleichung: Sei $f:[a,b]\to ℝ$ eine riemannintegrierbare Funktion, wobei $a$ und $b$ reelle Zahlen mit $a\le b$ sind. Dann ist die Funktion $|f|:[a,b]\to ℝ,x\mapsto |f(x)|$ riemannintegrierbar und es gilt $|{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x|\le {\int }_a^b|f(x)|\mathrm{d}x$.
• Produktregel: Seien $f:[a,b]\to ℝ$ und $g:[a,b]\to ℝ$ zwei riemannintegrierbare Funktionen, wobei $a$ und $b$ reelle Zahlen mit $a\le b$ sind. Dann ist die Funktion $(f\cdot g):[a,b]\to ℝ,x\mapsto f(x)\cdot g(x)$ riemannintegrierbar.
• Monotone Funktionen sind riemannintegrierbar.
• Wenn sich eine Funktion von einer riemannintegrierbaren Funktion nur an endlich vielen Stellen unterscheidet, dann ist auch sie riemannintegrierbar und ihr Integral ist gleich dem Integral der anderen Funktion.

Herleitung und Beweis der Eigenschaften

Stetige Funktionen sind riemannintegrierbar

Anschaulich ist das Integral einer Funktion $f:[a,b]\to ℝ$ der Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktion und der $x$-Achse. Es macht Sinn, dass man diesen Flächeninhalt bei einer stetigen Funktion ausrechnen kann, d.h., dass das Integral $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$ existiert. Das wollen wir nun beweisen.

Monotonie des Riemannintegrals

Nun betrachten wir zwei riemannintegrierbare Funktionen $f:[a,b]\to ℝ$ und $g:[a,b]\to ℝ$ mit $f\le g$, d.h. $f(x)\le g(x)$ für alle $x\in [a,b]$, wobei $a,b\in ℝ$ mit $a\le b$.

Anschaulich macht es Sinn, dass $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)\mathrm{d}x$ gilt. Denn die Fläche unter dem Graphen von $f$ ist kleiner oder gleich der Fläche unter dem Graphen von $g$.

Dass $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)\mathrm{d}x$, können wir auch folgendermaßen begründen:

Wir betrachten die Ober- und die Untersumme für eine beliebige Zerlegung $\tilde{\mathrm{\Delta }}$ des Intervalls $[a,b]$.

Wir sehen, dass Vorlage:Einrücken

Da dies für alle Zerlegungen $\tilde{\mathrm{\Delta }}$ gilt, folgt $I_{+}(f,[a,b])\le I_{+}(g,[a,b])$ und $I_{-}(f,[a,b])\le I_{-}(g,[a,b])$. Also gilt $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)\mathrm{d}x$.

Wir haben uns gerade anschaulich überlegt, warum der folgende Satz gilt. Nun werden wir diesen auch beweisen.

Monotone Funktionen sind riemannintegrierbar

Ober- und Untersumme einer monoton steigenden Funktion bei Aufteilung in gleich große Teilintervalle

Ist unsere Funktion $f$ monoton, so werden die Suprema und Infima auf den Teilintervallen einer Zerlegung stets am Rand der Teilintervalle angenommen. In der Abbildung sieht man, dass die Fläche zwischen Ober- und Untersumme deshalb aus Rechtecken zusammengesetzt ist, die sich nur über Eck berühren. Haben alle Rechtecke die gleiche Breite $h$, können wir sie zu einem einzigen Rechteck mit Breite $h$ und Höhe $f(b)-f(a)$ zusammenschieben. Das bedeutet, die Differenz zwischen Ober- und Untersumme kann beliebig klein gemacht werden, wenn wir die Breite $h$ genügend klein wählen. Damit haben wir uns anschaulich überlegt, dass die monotone Funktion $f$ riemannintegrierbar sein muss. Dies wollen wir nun beweisen.

Fast überall gleiche Funktionen haben das gleiche Riemannintegral

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