Mathe für Nicht-Freaks: Dualraum

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|oben}} Wir haben bereits den Vektorraum der linearen Abbildungen ${\mathrm{Hom}}_K(V,W)$ zwischen zwei $K$-Vektorräumen $V$ und $W$ kennengelernt. Wir werden hier nun den Fall betrachten, dass der Vektorraum $W$ dem Körper $K$ entspricht.

Motivation

Betrachten wir folgendes Beispiel: Wir möchten Äpfel und Birnen kaufen. Ein Apfel kostet $2$€ und eine Birne $3$€. Wenn $x\in ℝ$ die Anzahl der Äpfel und $y\in ℝ$ die Anzahl der Birnen bezeichnen, wie viel müssen wir insgesamt bezahlen? Die Formel des Gesamtpreises ist $2x+3y$. Diese Gleichung können wir als $ℝ$-lineare Abbildung Vorlage:Einrücken auffassen. Nehmen wir an, dass die Preise sich um die Hälfte erhöhen. Um die Formel zu erhalten, die den neuen Gesamtpreis angibt, müssen wir die alte Formel mit $\frac{3}{2}$ multiplizieren. Die Formel, die diesen Preis angibt, würde dann $\frac{3}{2}(2x+3y)=3x+\frac{9}{2}y$ lauten. Die zugehörige lineare Abbildung ist Vorlage:Einrücken Wir sehen, dass $Q(x,y)=\frac{3}{2}P(x,y)$. Angenommen stattdessen steigt der Preis der Äpfel um $2$€ und Preis der Birnen um $4$€. Die entsprechende Formel für den Gesamtpreis erhalten wir durch Addition $2x+4y$ auf die ursprüngliche Formel, das heißt $(2x+3y)+(2x+4y)=4x+7y$. Das kann wie folgt als Addition linearer Abbildungen aufgefasst werden. Wir definieren $R,S:{ℝ}^2\to ℝ$ durch $R(x,y)=2x+4y$ und $S(x,y)=4x+7y$. Dann gilt $(P+R)(x,y)=P(x,y)+R(x,y)=S(x,y)$. Wir haben in diesem Beispiel also lineare Abbildungen von ${ℝ}^2$ nach $ℝ$ addiert und mit Skalaren multipliziert.

Wir haben also lineare Abbildungen von ${ℝ}^2\to ℝ$, die den Gesamtpreis angeben. Eine solche Abbildung ordnet jedem Vektor einen Wert, nämlich den Preis, zu. Wir können sagen, dass die Abbildung diese Vektoren misst. Deshalb nennen wir lineare Abbildungen von ${ℝ}^2$ nach $ℝ$ lineare Messfunktionen. Wir haben oben gesehen, dass Summen und skalare Vielfache von solchen Abbildungen wieder lineare Abbildungen sind. In anderen Worten sind Linearkombinationen von linearen Messabbildungen wieder lineare Messabbildungen. Es gibt also eine Vektorraumstruktur auf den linearen Messabbildungen von ${ℝ}^2$.

Wie sieht es bei anderen Vektorräumen aus? Betrachten wir den $ℂ$-Vektorraum $ℂ[x{]}_{\le n}$ der komplexen Polynome vom Grad höchstens $n\in \mathbb{N}$. Hier gibt es eine Reihe von einfachen Messabbildungen. Diese können zum Beispiel einem Polynom $p$ seinen Wert an einem Punkt $a\in ℂ$ zuordnen Vorlage:Einrücken Alternativ kann man einem Polynom den Wert seiner Ableitung im Punkt $a\in ℂ$ zuordnen Vorlage:Einrücken Da die Koeffizienten von Polynomen Skalare sind, können wir sie benutzen um weitere Messabbildungen zu definieren. Betrachte zum Beispiel für $p=a_n{x}^n+\dots +a_{1}x+a_0$ die Abbildungen $f,g:ℂ[x{]}_{\le n}\to ℂ$ definiert durch $f(p)=a_n+\dots +a_1$ und $g(p)=a_0$. Dann gilt $(f+g)(p)=f(p)+g(p)=a_n+\dots +a_1+a_0=p(1)={\mathrm{eval}}_1(p)$. Wir sehen auch hier, dass Summen von Messabbildungen wieder Messabbildungen sind.

Allgemein kann man auch über einem beliebigen $K$-Vektorraum $V$ den Raum der linearen Messabbildungen $V\to K$ betrachen. Wir werden sehen, dass dieser, wie in den Beispielen zuvor, ein Vektorraum ist. Diesen nennt man den Dualraum von $V$.

Definition

Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition Der folgende Satz besagt, dass der Dualraum ein Vektorraum ist. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Duale Basis

Wir wissen nun, was der Dualraum $V^{*}$ eines $K$-Vektorraums $V$ ist: Er besteht aus allen linearen Abbildungen von $V$ nach $K$. Intuitiv können wir diese Abbildungen als lineare Abbildungen auffassen, die Vektoren aus $V$ messen. Deshalb nennen wir Elemente des Dualraums $V^{*}$ in diesem Artikel manchmal "(lineare) Messfunktionen".

Motiviert durch diese intuitive Vorstellung von "Messungen" fragen wir uns: Gibt es eine Teilmenge $M\subseteq V^{*}$ von Messfunktionen, mit der sich Vektoren eindeutig bestimmen lassen? Das heißt, gibt es eine Teilmenge $M$, sodass wir für jede Wahl von Vektoren $v,w\in V$ mit $v\ne w$ eine Messfunktion $f\in M$ mit $f(v)\ne f(w)$ finden?

Wir überlegen uns zuerst an einem Beispiel, was das bedeutet:

In der kontraponierten Form lautet unsere Frage: Gibt es eine Teilmenge $M\subseteq V^{*}$, sodass für alle Vektoren $v,w\in V$ gilt: Wenn $f(v)=f(w)$ für alle Messungen $f\in M$ gilt, dann muss $v=w$ sein.

Wir versuchen, diese Frage erstmal im $K^n$ zu beantworten.

Messfunktionen zum eindeutigen Bestimmen von Vektoren

Ein Vektor $v=(v_1,\dots ,v_n)\in K^n$ ist durch seine Einträge $v_i$ eindeutig bestimmt. Wenn wir also Messfunktionen aus $(K^n{)}^{*}$ so auswählen, dass ihre Werte uns die Einträge eines Vektors liefern, haben wir sichergestellt, dass ein Vektor durch diese Werte schon eindeutig bestimmt ist. Betrachten wir also für $i\in \{1,\dots ,n\}$ die Abbildungen Vorlage:Einrücken Man kann überprüfen, dass die Abbildungen $f_i$ linear sind. Außerdem gilt $f_i(v)=v_i$ für jedes $i$. Die Abbildung $f_i$ liefert also den $i$ten Eintrag von Vektoren in $K^n$. Ein Vektor $v\in K^n$ ist durch die Werte der $f_i$ schon eindeutig bestimmt: Angenommen wir haben Vektoren $v=(v_1,\dots ,v_n)$ und $w=(w_1,\dots ,w_n)$ in $K^n$ mit gleichen Funktionswerten unter den $f_i$, also mit $f_i(v)=f_i(w)$ für alle $i$. Dann gilt $v_i=f_i(v)=f_i(w)=w_i$ für alle $i$ und damit $v=w$. Also gilt: Sind $v,w\in K^n$ mit $f_i(v)=f_i(w)$ für alle $i$, dann folgt $v=w$.

Es ist intuitiv auch klar, dass wir keine der Messfunktionen $f_i$ weglassen können, um einen Vektor durch die Werte eindeutig zu bestimmen. Lassen wir zum Beispiel die $f_j$ weg, $j\in \{1,\dots ,n\}$, dann gilt für Vorlage:Einrücken zwar $f_i(v)=0=f_i(w)$ für alle Messfunktionen mit $i\ne j$, aber es ist $v\ne w$. Die Messfunktionen $f_i$ mit $i\ne j$ bestimmen einen Vektor also nicht mehr eindeutig.

Wir haben mit den $f_i$ mit $i=1,\dots n$ eine Menge an Messfunktionen gefunden, die Vektoren aus $K^n$ eindeutig bestimmen und die minimal ist, weil wir keine der Funktionen weglassen können.

Können wir diese Überlegungen auf einen allgemeinen Vektorraum $V$ verallgemeinern? Im $K^n$ haben wir benutzt, dass ein Vektor $v=(v_1,\dots ,v_n)\in K^n$ durch seine Einträge $v_i$ eindeutig bestimmt ist. Die $v_i$ sind aber gerade die Koordinaten von $v$ bezüglich der Standardbasis $\{e_1,\dots ,e_n\}\subseteq K^n$: Es gilt Vorlage:Einrücken In einem allgemeinen Vektorraum $V$ haben wir keine Standardbasis. Sobald wir aber eine Basis $B$ gewählt haben, können wir genauso wie im $K^n$ von den Koordinaten eines Vektors bzgl. $B$ sprechen. So wie im $K^n$ mit der Standardbasis, so ist dann auch in $V$ mit der gewählten Basis $B$ ein Vektor $v\in V$ durch seine Koordinaten bzgl. $B$ eindeutig bestimmt. Sobald wir also eine Basis gewählt haben, können wir versuchen, genauso wie im $K^n$ vorzugehen.

Wir nehmen im Folgenden an, dass $V$ endlichdimensional ist, d.h. $\dim V=n<\mathrm{\infty }$. Sei $B=\{b_1,\dots ,b_n\}$ eine Basis von $V$. Dann ist jeder Vektor $v\in V$ von der Form Vorlage:Einrücken mit eindeutig bestimmten Koordinaten $a_1,\dots ,a_n\in K$. Analog zum $K^n$ definieren wir nun für $i\in \{1,\dots ,n\}$ die linearen Messfunktionen in $V^{*}$ Vorlage:Einrücken Eine der Messfunktionen $f_i$ bestimmt also gerade die $i$te Koordinate von Vektoren bzgl. der Basis $B$. Es gilt also Vorlage:Einrücken für jeden Vektor $v\in V$. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Warnung Weil Vektoren in $V$ durch ihre Koordinaten schon eindeutig bestimmt sind, sind Vektoren durch die Werte der $f_i$ schon eindeutig bestimmt. Mit anderen Worten, es gilt für alle $v,w\in V$ Vorlage:Einrücken Aus demselben Grund wie bei $K^n$ kann man auf keines der $f_i$ verzichten: Fehlt die $j$te Messfunktion $f_j$, $i\in \{1,\dots ,n\}$, dann lassen sich Vektoren, deren $j$te Koordinate bzgl. $B$ verschieden ist, nicht mehr unterscheiden. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Frage

Die Messfunktionen bilden eine Basis

Sei $V$ ein Vektorraum mit gewählter Basis $B=\{b_1,\dots ,b_n\}$ und seien die $f_i$ definiert wie oben. Will man Vektoren durch die Werte der $f_i$ eindeutig bestimmen, kann auf keines der $f_i$ verzichten. Der Grund dafür ist, dass man das Ergebnis einer Messung $f_j(v)$ (die $j$te Koordinate von $v$ bzgl. $B$) nicht aus den anderen Messungen kombinieren kann. Wir können also keine der Messfunktionen $f_j$ als Linearkombination der anderen $f_i$ ($i\ne j$) darstellen. Mit anderen Worten, die Messfunktionen $f_i$ sind linear unabhängig.

Auf der anderen Seite verraten uns die Werte der $f_i$ bereits alles, was es über einen Vektor $v\in V$ zu wissen gibt: Seine Koordinaten bzgl. der gewählten Basis $B$. Lassen sich alle anderen Messfunktionen aus $V^{*}$ deshalb aus den $f_1,\dots ,f_n$ kombinieren? Eine beliebige Messfunktion $g:V\to K$ aus $V^{*}$ ist nach dem Prinzip der linearen Fortsetzung schon durch ihre Werte auf den Basisvektoren $b_1,\dots ,b_n$ eindeutig bestimmt. Für $i\in \{1,\dots ,n\}$ seien ${\lambda }_i=g(b_i)\in K$ diese Werte. Ferner gilt $f_i(b_i)=1$ und $f_i(b_j)=0$ für $j\ne i$ und alle $i\in \{1,\dots ,n\}$. Durch Einsetzen der $b_i$ erhalten wir, dass Vorlage:Einrücken die gleichen Werte auf den Basisvektoren annehmen. Nach dem Prinzip der linearen Fortsetzung sind die beiden linearen Abbildungen also gleich. Also lässt sich jedes $g\in V^{*}$ als Linearkombination der $f_i$ schreiben. Das bedeutet, die Messfunktionen $f_i$ bilden ein Erzeugendensystem von $V^{*}$.

Also ist $\{f_1,\dots ,f_n\}\subseteq V^{*}$ eine Basis des Dualraums und wir können den folgenden Satz beweisen:

Die eindeutig bestimmte Basis $B^{*}$ nennen wir die zu $B$ duale Basis und schreiben auch $b_i^{*}=f_i$ für die Basisvektoren.

Was passiert im Unendlichdimensionalen?

Oben haben wir nur den Fall $\dim V<\mathrm{\infty }$ betrachtet. Können wir genauso vorgehen, wenn $V$ Unendlichdimensional ist? Um die Messfunktionen $f_i$ zu definieren, müssen wir erst eine Basis von $V$ wählen. Sei also $B=\{b_i\mid i\in I\}\subseteq V$ eine Basis von $V$, wobei $I$ eine (unendliche) Indexmenge ist. Das Prinzip der linearen Fortsetzung gilt auch im Unendlichdimensionalen: Für vorgegebene Werte ${\lambda }_i\in K$, $i\in I$, gibt es genau eine lineare Abbildung $f:V\to K$ mit $f(b_i)={\lambda }_i$ für alle $i\in I$. Wir können also genau wie im Endlichdimensionalen für $i\in I$ die Abbildung $f_i:V\to K$ durch die Vorschrift Vorlage:Einrücken definieren.

Man kann zeigen, dass dann $\{f_i\mid i\in I\}$ auch im Unendlichdimensionalen eine linear unabhängige Teilmenge von $V^{*}$ ist. Der Beweis ist analog zum Beweis der linearen Unabhängigkeit im Satz zur dualen Basis.

Im Unendlichdimensionalen kann aber $\{f_i\mid i\in I\}$ kein Erzeugendensystem von $V^{*}$ sein: Man kann die Funktion Vorlage:Einrücken die den Wert 1 auf allen Basisvektoren annimmt, nicht als endliche Linearkombination der $f_i$ darstellen.

Im Unendlichdimensionalen ist die "duale Basis" $\{f_i\mid i\in I\}$ also keine Basis des Dualraums.

Aufgaben

In der letzten Aufgabe haben wir $K\ne {𝔽}_2$ gefordert, weil wir im Beweis ein Element benötigt haben, das weder $0$ noch $1$ ist. Der Körper ${𝔽}_2$ besteht nur aus den Elementen $0$ und $1$. Das heißt, wenn wir eine lineare Abbildung $f:V\to K$ konstruieren wollen, die einen $n-1$-dimensionalen Untervektorraum $U$ als Kern hat, dann müssen wir sie als Vorlage:Einrücken definieren. Diese Abbildung ist linear, weil es eine lineare Abbildung gibt, deren Kern $U$ ist und die einzige Möglichkeit eine Abbildung Kern $U$ hinzuschreiben, diese Abbildungsvorschrift ist. Insbesondere kommen wir bei der letzten Teilaufgabe zu einem anderen Ergebnis: Die Abbildung ist eindeutig.

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|unten}}