Mathe für Nicht-Freaks: Dimensionsformel für lineare Abbildungen

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Im letzten Abschnitt haben wir den Isomorphiesatz kennengelernt. Dieser besagt, dass bei einer linearen Abbildung $L:V\to W$ zwischen zwei endlichdimensionalen $K$-Vektorräumen $V$ und $W$ das Bild $\mathrm{im}(L)$ isomorph ist zu $V/\ker L$.

Das bedeutet, es gibt eine bijektive lineare Abbildung zwischen den Vektorräumen $V/\ker L$ und $\mathrm{im}(L)$. Also sind diese Vektorräume in gewisser Weise ähnlich zueinander. Nun stellt sich die Frage, ob die Dimension von $V/\ker L$ mit der Dimension von $\mathrm{im}(L)$ zusammenhängt. Wir werden sehen, dass $\dim (V)=\dim (\ker L)+\dim (\mathrm{im}L)$ gilt.

Dimension von zwei zueinander isomorphen Vektorräumen

Sind $\mathrm{im}(L)$ und $V/\ker L$ endlich-dimensional, so haben sie nach dem Satz die gleiche Dimension, das heißt $\dim \mathrm{im}(L)=\dim V/\ker L$.

Dimension des Faktorraums

Im letzten Abschnitt haben wir den Vektorraum $V/\ker L$ kennengelernt. Inzwischen wissen wir auch, dass $\dim \mathrm{im}(L)=\dim V/\ker L$ gilt, falls dieser Vektorraum endlich-dimensional ist.

Die Dimension und Basis eines Vektorraums hängen eng zusammen: Vorlage:-

Unser nächstes Ziel ist es, explizit eine Basis von $V/U$ zu konstruieren.

Daraus ergibt sich eine wichtige Folgerung:

Zusammenhang von Injektivität und Surjektivität von linearen Abbildungen

Im Allgemeinen sind Injektivität und Surjektivität von Abbildungen nicht äquivalent, wie folgende Beispiele zeigen.

Aufgaben

In den beiden vorherigen Abschnitten haben wir den Kern und das Bild einer linearen Abbildung als wichtige Untervektorräume kennengelernt.

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