Mathe für Nicht-Freaks: Cauchy-Folgen und das Cauchy-Kriterium

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Motivation

In dem letzten Kapitel haben wir den Begriff des Grenzwerts einer Folge kennengelernt. Du hast auch gesehen, wie man die Konvergenz einer Folge mit Hilfe der Epsilon-Definition des Grenzwerts beweisen kann. Für den Konvergenzbeweis mit der Epsilon-Definition ist es aber notwendig, den Grenzwert der Folge zu kennen bzw. eine Vermutung zu haben, was der Grenzwert der Folge sein könnte.

Die Epsilon-Definition des Grenzwerts lautet nämlich: Zu jedem $ϵ>0$ gibt es ein $N\in \mathbb{N}$, so dass die Ungleichung $|a_n-a|<ϵ$ für alle $n\ge N$ erfüllt ist. Dabei ist $a$ der Grenzwert der Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$. Du siehst: In der Epsilon-Definition muss man den Grenzwert $a$ kennen. Doch wie können wir die Konvergenz einer Folge zeigen, wenn es sehr schwer oder sogar unmöglich ist, den Grenzwert der Folge zu bestimmen? Deshalb steht in diesem Kapitel folgende Frage im Vordergrund:

Wie würdest du dieses Problem lösen? Ein erster Ansatz ist folgende Hypothese:

Diese Hypothese ist plausibel. Ist aber dieses Kriterium ausreichend? Leider nicht! Nimm zum Beispiel die Folge

Die Folge wird beliebig groß und divergiert damit. Der Abstand benachbarter Folgenglieder wird aber beliebig klein. Hier siehst du, dass wir ein stärkeres Kriterium als unsere obige Hypothese benötigen. Cauchy-Folgen erfüllen genau dieses stärkere Kriterium.

Herleitung von Cauchy-Folgen

Nehmen wir die Epsilon-Eigenschaft des Grenzwerts und „spielen“ ein wenig damit herum. Wenn eine Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ gegen $a$ konvergiert, dann wissen wir aus der Epsilon-Definition der Konvergenz:

Fixieren wir ein $ϵ>0$. Es gibt dann einen von $ϵ$ abhängigen Index $N_{ϵ}\in \mathbb{N}$, so dass $|a-a_n|<ϵ$ für alle $n\ge N_{ϵ}$ ist. Seien nun $n,m\ge N_{ϵ}$. Damit ist

Insgesamt erhalten wir mit Hilfe der Dreiecksungleichung folgende Abschätzung für $|a_n-a_m|$:

Folgenglieder nach $a_{N_{ϵ}}$ müssen also alle untereinander einen Abstand kleiner als $2ϵ$ besitzen. Dies kann auch aus folgender Überlegung gefolgert werden: Alle Folgenglieder nach $a_{N_{ϵ}}$ müssen in der $ϵ$-Umgebung $(a-ϵ,a+ϵ)$ liegen:

Die Epsilon-Umgebung von a

Obige Epsilon-Umgebung besitzt die Breite $2ϵ$. Da alle Folgenglieder nach $a_{N_{ϵ}}$ in dieser Umgebung liegen, muss ihr Abstand untereinander kleiner als $2ϵ$ sein. Insgesamt haben wir also für die konvergente Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ folgendes gezeigt:

Diesen Ausdruck können wir nun schöner schreiben. Hierzu setzen wir $\widetilde{ϵ}=2ϵ$. Wenn $ϵ$ alle positiven Zahlen durchläuft, dann durchläuft auch $\widetilde{ϵ}$ alle positiven Zahlen. Die Abbildung $x\mapsto 2x$ bildet nämlich ${ℝ}^{+}$ bijektiv auf ${ℝ}^{+}$ ab (diese Abbildung nutzen wir, wenn wir $\widetilde{ϵ}=2ϵ$ setzen). Damit ist

Folgen mit dieser Eigenschaft werden Cauchy-Folgen genannt. Du siehst, dass diese Definition nicht auf den Grenzwert einer Folge zugreift. Später werden wir sehen, dass eine reelle Folge genau dann konvergiert, wenn sie eine Cauchy-Folge ist. So kann man die Konvergenz einer Folge beweisen, ohne den Grenzwert kennen zu müssen.

Definition von Cauchy-Folgen

Datei:Zahlen - Quatematik.webm Fassen wir das bisher Hergeleitete zusammen: Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition

Intuitiv gesprochen ist eine Folge genau dann eine Cauchy-Folge, wenn die Abstände der Folgenglieder untereinander beliebig klein werden. Beachte, dass hier mehr als nur der Abstand direkt benachbarter Folgenglieder gemeint ist. Zur Illustration:

• 
  Eine Cauchy-Folge: Der Abstand der Folgenglieder untereinander wird beliebig klein
• 
  Keine Cauchy-Folge: Der Abstand der Folgenglieder untereinander wird nicht beliebig klein

Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge

Wir haben die Definition der Cauchy-Folge als Alternative zur Konvergenzdefinition hergeleitet. In den folgenden Abschnitten werden wir beweisen, dass bei reellwertigen Folgen jede Cauchy-Folge konvergiert und umgekehrt. Beginnen wir mit dem Beweis, dass konvergente Folgen Cauchy-Folgen sind:

Jede Cauchy-Folge ist beschränkt

Genau wie bei konvergenten Folgen können wir folgenden Satz beweisen:

Cauchy-Folgen mit konvergenten Teilfolgen konvergieren

Es folgt nun ein (Hilfs-)Satz, den wir später benötigen werden, um die Konvergenz einer (reellwertigen) Cauchy-Folge zu beweisen:

Jede Cauchy-Folge konvergiert

Datei:Cauchy Konvergenz.webm Kommen wir nun zum eigentlichen Grund, warum es sich lohnt, Cauchy-Folgen zu studieren. Wir können nämlich zeigen, dass jede Cauchy-Folge konvergiert. Es gilt der Satz:

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