Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang lineare Algebra 2/Projektionen

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Einführung und Anschauung

• Wir haben im Artikel "LAI - Vektorraum:Summe und direkte Summe - Komplemente von Unterräumen" gesehen, dass man einen Vektorraum $V$ mit Unterraum $U$ zerlegen kann in eine direkte Summe $V=U\oplus W$ aus $U$ und einem Komplement $W$ in $V$ (das Komplement ist nicht eindeutig)
• Wir wollen Vektoren $v\in V$ zerlegen in $v=u+w,u\in U,w\in W$
• Bild einer Zerlegung eines zweidimensionalen Vektors in zwei andere Vektoren
• Verweis auf Linearkombinationen
• Idee: einer der Zerlegungsvektoren wird vergessen/ weggeschmissen
• Vergleich Schattenwurf. Der Vektor der vergessen wird ist die Richtung in die der Schatten fällt. Der Vektor der getroffen wird ist der Schatten, des Vektoren/"Punktes", der zerlegt wurde.
• Dafür wollen wir eine lineare Abbildung, die uns zu einem $v\in V$ das zugehörige $u\in Umit\mathrm{\exists }w\in W:v=u+w$ ausgibt. (Eine Lineare Abbildung kann uns nicht $u$ und $w$ rausgeben)
• Anders gesagt wollen wir einen Vektor $v$ aus dem großen Vektorraum $V$ reduzieren auf einen Vektor $u$ aus dem kleinen Vektorraum $U$
• Gesucht: $f:V\to V,Im(f)\subseteq U$
• Beobachtung: Wenn unser $v\in V$ schon aus U ist, also $v\in U\subseteq V$, dann ist $v=v+0$ die einzige mögliche Zerlegung in ein Element aus U und seinem Komplement W. Es folgt $f(v)=v\mathrm{\forall }v\in U\subseteq V$. Anders gesagt $f|U=id$ oder $f(f(v))=f(v)$. Warum ist das das gleiche? Also ist sogar $Im(f)=U$
• Anders gesagt. Der Unterraum auf den wir abbilden wird von unserer Abbildung nicht verändert.

Welche Anforderungen wollen wir an eine Projektion stellen?

• Wir wissen schonmal, dass $f(f(x))=f(x)$, bzw. $f\circ f=f$ seien soll.
• Wir wollen, dass $v=u+w=f(v)+w$ eine Zerlegung in $f(v)\in U$ und $w\in W$ ist, mit $V=U\oplus W$.
• Beobachtung: $f(v)=f(u+w)=f(f(v))+f(w)=f(v)+f(w)$, da unsere Abbildung Elemente $u\in U$ nicht verändert. Stellen wir die gleichung um erfahren wir, dass $f(w)=f(v)-f(v)$. Unsere Abbildung soll also Elemente aus $W$ auf $0$ abbilden. Das ergibt auch Sinn, denn haben wir ein Element $w\in W$ so ist $w=0+w$ die eindeutige Zerlegung in Elemente aus $U$ und $W$. Es muss also $f(w)=0\mathrm{\forall }w\in W$.
• Setzen wir diese beiden Sachen voraus, so ist $f(v)=f(u+w)=f(u)+f(w)=u+0=u$

• Wir wollen zu einer Abbildung sagen können ob sie eine Projektion für irgendeine Zerlegung $V=U\oplus W$ ist. Das heisst wir kennen $U$ und $W$ erstmal nicht
• Wir haben oben schon gesagt, dass für eine Projektion auf einen Unterraum $U$ gelten muss $f(V)=U$. Also ist $Im(f)$ der einzige Kandidat für $U$
• Wir erinnern uns, dass es mehrere mögliche Komplimente zu $U$ in $V$ gibt.
• Auf der anderen Seite muss für $w\in W$ gelten $f(w)=0$. Also ist $W\subseteq Ker(f)$.
• Hier wäre es nützlich schon die Definition der komplementären Projektion zu haben um die Zerlegung explizit angeben zu können.

Definition und Komplementäre Projektion

• Eine lineare Abbildung $f:V\to V$ heißt Projektion, falls $f(f(x))=f(x)$, bzw. $f\circ f=f$ ist.

Beispiele

• Schattenwurf
• Projektionen an die Leiwand sind keine Mathematischen Projektionen

Beispielaufgaben

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