Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang lineare Algebra/Abstellraum Euklidische Vektorräume

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Der euklidische Vektorraum

Wenn wir die Zeilenvektoren des reellen Koordinatenraums ${ℝ}_n$ in Spaltenvektoren umwandeln, erhalten wir den reellen Vektorraum Vorlage:Einrücken. Die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation funktioniert komponentenweise, ganz analog zur Addition und Skalarmultiplikation im Koordinatenraum ${ℝ}_n$. Die Skalar Multiplikation im ${ℝ}^n$ führt einen Vektor ebenfalls in einen Vektor über, Vorlage:Einrücken

Das Skalarprodukt

Wie wir im vorhergehenden Kapitel schon gesehen haben, können Vektoren im ${ℝ}^2$ und ${ℝ}^3$ als Pfeile dargestellt werden. Dabei stellen Pfeile, die parallel, gleich lang und gleich orientiert sind, den selben Vektor dar. Diese Definition von Vektoren ist dir sicher aus deiner Schulzeit bekannt.

Das Skalarprodukt zweier Vektoren im Anschauungsraum hängt von der Länge der Vektoren und dem eingeschlossenen Winkel ab.

Zusätzlich zur Vektoraddition und Skalarmultiplikation wollen wir eine weitere Verknüpfung von zwei Vektoren $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\in {ℝ}^2$ einführen, die den beiden Vektoren einen Skalar (Zahl) in $ℝ$ zuordnet. Wir nennen diese Verknüpfung Skalarprodukt und definieren sie geometrisch in der euklidischen Ebene wie folgt:

Geometrische Veranschaulichung

Orthogonale Projektion ${\overrightarrow{b}}_{\overrightarrow{a}}$ des Vektors $\overrightarrow{b}$ auf die durch $\overrightarrow{a}$ bestimmte Richtung

Betrachte zur Veranschaulichung der obigen Definition die orthogonale Projektion ${\overrightarrow{b}}_{\overrightarrow{a}}$ des Vektors $\overrightarrow{b}$ auf die durch $\overrightarrow{a}$ bestimmte Richtung und setze Vorlage:Einrücken Es gilt dann $b_a=|\overrightarrow{b}|\cos \phi ,$ und für das Skalarprodukt von $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ gilt: Vorlage:Einrücken

Ganz analog gilt für die orthogonale Projektion ${\overrightarrow{a}}_{\overrightarrow{b}}$ des Vektors $\overrightarrow{a}$ auf die durch $\overrightarrow{b}$ bestimmte Richtung und setze Vorlage:Einrücken Es gilt $a_b=|\overrightarrow{a}|\cos \phi ,$ und für das Skalarprodukt von $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ gilt: Vorlage:Einrücken

Eigenschaften des Skalarprodukts

Aus der Definition des Skalarprodukts $⟨\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}⟩=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \phi$ ergibt sich direkt:

• Sind $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ parallel und gleichorientiert, d.h. $\phi =0^{\circ }$ und damit $\cos 0^{\circ }=1,$ so gilt

• Sind $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ parallel und entgegengesetzt orientiert, d.h. $\phi =180^{\circ }$ und damit $\cos {180}^{\circ }=-1,$ so gilt

• Insbesondere ergibt das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst das Quadrat seiner Länge

• Sind $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ orthogonal, d.h. $\phi =90^{\circ }$ und damit $\cos {90}^{\circ }=0,$ so gilt

• Umgekehrt gilt für $\overrightarrow{0}\ne \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$

• Ist $\sphericalangle (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$ ein spitzer Winkel, d.h. $0^{\circ }<\phi <{90}^{\circ }$ und damit $0<\cos \phi <1,$ so gilt

• Ist $\sphericalangle (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$ ein stumpfer Winkel, d.h. ${90}^{\circ }<\phi <{180}^{\circ }$ und damit $-1<\cos \phi <0,$ so gilt

Skalarprodukt im kartesischen Koordinatensystem

Führen wir in der euklidischen Ebene und im euklidischen Raum kartesische Koordinaten ein, dann erhalten wir folgende Menge für die euklidische Ebene Vorlage:Einrücken und für den euklidischen Raum die Menge Vorlage:Einrücken In der euklidischen Ebene lässt sich das Skalarprodukt der Vektoren $\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\end{array}\right)$ darstellen als $⟨\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}⟩=a_1{b}_1+a_2{b}_2$

Kanonische Einheitsvektoren in der euklidischen Ebene

Diese Vektoren lassen sich mit Hilfe der kanonischen Einheitsvektoren ${𝔢}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ und ${𝔢}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ darstellen als Vorlage:Einrücken Zunächst gilt, dass die Einheitsvektoren ${𝔢}_1;{𝔢}_2$ orthogonal sind und damit ist wegen der obigen Eigenschaften des Skalarprodukts: Vorlage:Einrücken Außerdem haben die Einheitsvektoren die Länge 1 und damit gilt wegen der obigen Eigenschaften des Skalarprodukts: Vorlage:Einrücken Damit ist Vorlage:Einrücken Wir haben damit gezeigt, dass die geometrische Definition des Skalarprodukts mit der Definition des Skalarprodukts in Koordinatenform übereinstimmt.

Im dreidimensionalen euklidischen Raum ${ℝ}^3$ erhält man entsprechend für die Vektoren Vorlage:Einrücken die Darstellung Vorlage:Einrücken Allgemein gilt für den n-dimensionalen euklidischen Raum ${ℝ}^n$ für das Skalarprodukt der Vektoren $\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,\dots ,a_n{)}^T$ und $\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,\dots ,b_n{)}^T$ Vorlage:Einrücken

Bemerkungen

Das Skalarprodukt ist damit eine Funktion $s:{ℝ}^n\times {ℝ}^n\to ℝ$, die jedem geordneten Paar $(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$ von Vektoren die reelle Zahl $⟨\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}⟩$ zuordnet, mit folgenden Eigenschaften:

1. s ist symmetrisch, d.h. es gilt das Kommutativgesetz:

   $⟨\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}⟩=⟨\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}⟩$ für alle Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$

2. s ist homogen in jedem Argument (gemischtes Assoziativgesetz):

   $⟨(\rho \overrightarrow{a}),\overrightarrow{b}⟩=\rho ⟨\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}⟩=⟨\overrightarrow{a},(\rho \overrightarrow{b})⟩$ für alle Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ und alle Skalare $\rho \in ℝ$

3. s ist additiv in jedem Argument, d.h. es gilt das Distributivgesetz:

   $⟨\overrightarrow{a},(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})⟩=⟨\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}⟩+⟨\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}⟩$ und

   $⟨(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}),\overrightarrow{c}⟩=⟨\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}⟩+⟨\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}⟩$ für alle Vektoren $\overrightarrow{a},$ $\overrightarrow{b}$ und $\overrightarrow{c}.$

Die Eigenschaften 2 und 3 fasst man auch zusammen zu: Das Skalarprodukt ist bilinear.

1. Die Bezeichnung gemischtes Assoziativgesetz für die 2. Eigenschaft verdeutlicht, dass dabei ein Skalar und zwei Vektoren so verknüpft werden, dass die Klammern wie beim Assoziativgesetz vertauscht werden können.
2. Da das Skalarprodukt keine innere Verknüpfung ist, ist ein Skalarprodukt von drei Vektoren nicht definiert, daher stellt sich die Frage nach einer echten Assoziativität nicht. Im Ausdruck

   $(⟨\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}⟩)\cdot \overrightarrow{c}$ ist nur der erste Ausdruck ein Skalarprodukt von zwei Vektoren, die zweite Multiplikation ist das Produkt eines Skalars mit einem Vektor. Der Ausdruck stellt ein Vielfaches des Vektors $\overrightarrow{c}.$ dar. Hingegen stellt der Ausdruck $\overrightarrow{a}\cdot (⟨\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}⟩)$ ein Vielfaches von $\overrightarrow{a}$ dar.

3. Im Allgemeinen gilt also

   $(⟨\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}⟩)\cdot \overrightarrow{c}\ne \overrightarrow{a}\cdot (⟨\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}⟩).$

4. Weder die geometrische Definition noch die Definition in kartesischen Koordinaten ist willkürlich. Beide folgen aus der geometrisch motivierten Forderung, dass das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst das Quadrat seiner Länge ist, und der algebraisch motivierten Forderung, dass das Skalarprodukt die obigen Eigenschaften 1–3 erfüllt.

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