Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Zusammenhang und Wegzusammenhang

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Wo stehen wir

Wir hatten die Transportgleichung betrachtet und danach die Fundamentallösung hergeleitet. Mit dieser konnten wir im Ganzraum die Lösung der Poissongleichung beweisen. Dann hatten wir die Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen gezeigt und das Maximumprinzip eingeführt. Dabei war der Begriff des Zusammenhangs aufgetreten, den wir in diesem Kapitel wiederholen wollen.

Motivation

Es fehlte noch ein Beweis zum Zusammenhang, den wir nachtragen wollen. Dazu führen wir den sehr anschaulichen Begriff des Wegzusammenhanges einer Menge ein: dass sich zwei beliebige Punkte einer Menge durch einen endlich langen Weg stetig verbinden lassen. Im ${ℝ}^n$ sind beide Begriffe identisch. Wir setzen die Definition des topologischen Raumes und der Stetigkeit dort voraus aus Analysis II.

Offene beschränkte Mengen sind die Vereinigung ihrer Wegzusammenhangskomponenten

Wir hatten den folgenden Satz benötigt im letzten Kapitel, dessen Beweis wir nun nachtragen wollen. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Der Begriff "zusammenhängend"

Die Definition ist reichlich abstrakt, man sollte sich den Begriff als Verallgemeinerung der Definition des Wegzusammenhanges vorstellen; und letzterer ist sehr anschaulich: zwei Punkte lassen sich dabei durch eine stetigen endlichen Weg verbinden.

Abgeschlossene Intervalle sind zusammenhängend

Wir benötigen im Folgenden die Aussage, dass ein abgeschlossenes Intervall zusammenhängend ist. Wie sollte man es auch durch zwei disjunkte offene Mengen in $ℝ$ überdecken? Da würde immer mindestens ein Punkt fehlen.

Zusammenhangskomponenten

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