Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Energiemethode für die Laplacegleichung

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Wo stehen wir

Wir hatten die Transportgleichung betrachtet und danach die Fundamentallösung der Laplacegleichung hergeleitet. Mit dieser konnten wir im Ganzraum die Lösung der Poissongleichung beweisen. Dann hatten wir die Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen gezeigt und das Maximumprinzip harmonischer Funktionen eingeführt. Wir hatten daraufhin die Harnacksche Ungleichung hergeleitet und bewiesen, dass harmonische Funktionen unendlich oft differenzierbar sind. Wir hatten dann Schranken für die Ableitungen harmonischer Funktionen gezeigt und mit diesen bewiesen, dass harmonische Funktionen analytisch sind, sich also lokal durch ihre Taylorreihe darstellen lassen. Dararaufhin haben wir eine Lösungsformel für das Dirichletproblem der Poissongleichung

mittels der Greenschen Funktion $G$ ermittelt und die Greensche Funktion für den Halbraum und die Kugel hergeleitet.

In diesem Kapitel lernen wir die Energiemethode kennen, die Minimierung eines Funktionals. Gerne hätten wir mehr solche Hilbertraummethoden gezeigt, aber dazu müssen wir erst noch die nötige Funktionalanalysis erschaffen.

Das Dirichlet-Prinzip

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