Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Eindeutigkeit der Lösungen

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Wo stehen wir

Wir hatten die Transportgleichnung betrachtet und daraufhin die Eigenschaften der Laplace-Gleichung und der Poisson-Gleichung untersucht. Nun gehen wir zur Wärmeleitungsgleichung über, sie lautet

Sie heißt homogen für $f=0$, sonst inhomogen.

Wir können eine Anfangswärmeverteilung $g$ zum Zeitpunkt $t=0$ und Wärmequellen und -senken $f$ vorgeben und die Gleichung sagt uns, wie sich die Wärmeverteilung in Raum und Zeit entwickelt. Die Lösung für den Ganzraumfall haben wir schon betrachtet. Dann haben wir die Wärmekugel (englisch heat ball) eingeführt und die Mittelwerteigenschaft bewiesen. Nun folgern wir daraus das Maximumprinzip. In diesem Kapitel beweisen wir drei verschiedene Varianten der Eindeutigkeit des Anfangswertproblems.

Hilfssatz über das Supremum der Lösung auf ${ℝ}^n$

Bisher hatten wir Eindeutigkeit für beschränkte Gebiete gezeigt, jetzt ist das Ziel die Eindeutigkeit auf unbeschränkten Gebieten. Dafür benötigen wir eine Zusatzbedingung an $u$, dass $u$ nicht zu schnell anwächst. Und wir benötigen folgenden Hilfssatz.

Eindeutigkeit auf ${ℝ}^n$

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