Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Die Transportgleichung

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Wo stehen wir

Wir setzen im Folgenden die Maßtheorie und Analysis II insbesondere die Existenz und Eindeutigkeit gewöhnlicher Differentialgleichungen voraus.

Wir betrachten die Transportgleichung zunächst für konstantes $b$ und erhalten Existenz und Endeutigkeit inklusive einer Lösungsformel. Für nicht-konstantes $b$ und die homogene Gleichung stellen wir fest, dass die Lösung entlang bestimmter Kurven - Charakteristiken genannt - konstant ist! Im inhomogenen Fall errechnet sich die Lösung entlang der Charakteristiken gemäß einer Differentialgleichung. .

Die Lösungen sind jeweils eine Verschiebung in Raum und Zeit, daher der Name Transportgleichung.

Die lineare Transportgleichung

Sei $(t,x)\in ℝ\times {ℝ}^n$, wobei $t$ die Zeit ist und $x$ der Ort.

Die Transportgleichung heißt linear, da sie nur linear von u und seinen Ableitungen abhängt, was sie erheblich leichter lösbar macht.

Die homogene Gleichung für konstantes b

Wir lösen die Gleichung erst einmal für konstantes b.

Die inhomogene Gleichung für konstantes b

Nun betrachten wir die Lösung für $f\ne 0$.

Charakteristiken für nicht-konstantes b und homogenen Fall sind eindeutig

Die obigen Sätze galten für konstantes b. Jetzt wenden wir uns dem schwereren Fall $b\ne$ konstant zu, d.h. wir betrachten für $b\in C({ℝ}^{n+1}),\mathrm{\forall }t\in ℝ:b(t,\cdot )\in C^1({ℝ}^n),g\in C^1({ℝ}^n)$ die Anfangwertaufgabe I Vorlage:Einrücken

Jetzt müssen wir einen Umweg beschreiten: Wir müssen die Anfangswertaufgabe II Vorlage:Einrücken lösen, wie wir gleich sehen. Dies ist eine gewöhnliche Differentialgleichung und da $b(t,\cdot )\in C^1({ℝ}^n)$ hat sie eine eindeutige Lösung $u(x(t))$ auf einem maximalen Existenzintervall $(T_{-}(x_0),T_{+}(x_0))\ni 0$.

Sei nun $u(t,x)$ eine Lösung der Anfangswertaufgabe I. Bilden wir die Zeitableitung und verwenden wir die partielle Differentialgleichung gilt Vorlage:Einrücken und $u$ ist entlang jeder Lösungskurve $\{(t,x(t))\in {ℝ}^{n+1}|t\in (T_{-}(x_0),T_{+}(x_0))\}$ des Anfangswertproblems II konstant! Diese Kurven bekommen deshalb einen besonderen Namen: sie heißen Charakteristiken der partiellen Differentialgleichung. Für konstantes $b$ waren es Geraden, Wegen Vorlage:Einrücken gilt Vorlage:Einrücken und $u(\bar{t},\bar{x})=g(x_0)$ mit $x_0$ der Wert der Charakteristik bei $t=0$.

Charakteristiken für nicht-konstantes b und inhomogenen Fall

Erneut betrachten wir den schweren Fall $b\ne$ konstant, aber dieses Mal die inhomogene Variante.

D.h. wir betrachten für $b\in C({ℝ}^{n+1}),\mathrm{\forall }t\in ℝ:b(t,\cdot )\in C^1({ℝ}^n),g\in C^1({ℝ}^n)$ die Anfangswertaufgabe I Vorlage:Einrücken

Auch diese lässt sich mittels Charakteristiken lösen, wobei $u$ nicht mehr konstant ist längs der Charakteristiken, sondern sein Wert sich ermittelt gemäß der Anfangswertaufgabe III

Herleitung: Wie im homogenen Fall müssen wir die Anfangswertaufgabe II Vorlage:Einrücken lösen, wie wir gleich sehen. Dies ist eine gewöhnliche Differentialgleichung und da $b(t,\cdot )\in C^1({ℝ}^n)$ hat sie eine eindeutige Lösung u(x(t)) auf einem maximalen Existenzintervall $(T_{-}(x_0),T_{+}(x_0))\ni 0$.

Sei nun $u(t,x)$ eine Lösung der Anfangswertaufgabe II. Bilden wir die Zeitableitung und verwenden wir die partielle Differentialgleichung gilt Vorlage:Einrücken und $u$ berechnet sich entlang jeder Charakteristik $\{(t,x(t))\in {ℝ}^{n+1}|t\in (T_{-}(x_0),T_{+}(x_0))\}$ des Anfangswertproblems I gemäß dieser Differentialgleichung! Wegen Vorlage:Einrücken ist der Anfangswert für Anfangswertproblem III festgelegt.

5.) Beispiel und Aufgabe

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