Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Die Poissongleichung im Ganzraum

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|oben}}

Wo stehen wir

Wir haben die Transportgleichung betrachtet und danach die Fundamentallösung der Laplacegleichung hergeleitet.

Der Mittelwert über Kugeloberflächen einer stetigen Funktion

Wir konstruieren aus der Fundamentallösung der Laplacegleichung über eine sogenannte "Faltung" eine Ganzraumlösung der Poissongleichung $\mathrm{\Delta }u=f$. Dafür beweisen wir erst einen Hilfssatz, dass bei stetigen Funktionen f ihr mittlerer Wert über eine Sphäre sich dem Wert am Kugelmittelpunkt annähert. Das hatten wir erwartet, da die stetige Funktion bei immer kleineren werdenden Kugeln immer weniger abweicht von ihrem Wert am Kugelmittelpunkt.

Die Lösung der Poissongleichung im Ganzraumfall

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|unten}}