Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Die Mittelwerteigenschaft der Laplacegleichung

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Wo stehen wir

Wir haben die Transportgleichung bearbeitet und dann die Fundamentallösung der Laplacegleichung betrachtet. Mit dieser haben wir eine Ganzraumlösung der Poisongleichung erhalten.

Mittelung von $u$ über die Kugeloberfläche

Die Forderung der Laplacegleichung $\mathrm{\Delta }u=0$ ist unter anderem wegen der Rotationssymmetrie Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Die_Fundamentallösung_der_Laplacegleichung#Der Laplaceoperator_ist_rotationssymmetrisch so stark, dass sich eine Mittelwerteigenschaft beweisen läßt: der Funktionswert von $u$ ist gleich dem Mittelwert-Integral über eine Kugel(oberfläche), wobei der Radius auch noch beliebig gewählt werden kann (innerhalb des Definitionsbereiches). Diese Eigenschaft verwenden wir mehrfach in Beweisen der folgenden Kapitel. Das erinnert uns an die Funktionentheorie, in der auch eine Mittelwerteigenschaft gilt, aber für die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. Dazu benötigen wir folgenden Hilfssatz:

Die Mittelwerteigenschaft

Diese Eigenschaft ist zentral und aus ihr leiten wir mehrere wichtige Folgerungen ab in den folgenden Kapiteln.

Gleichwertigkeit von "harmonisch" und Mittelwerteigenschaft

Nun zeigen wir, dass "harmonisch" tatsächlich gleichbedeutend ist mit der Mittelwerteigenschaft. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

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