Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Der Satz von Liouville

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Wo stehen wir

Wir hatten die Transportgleichung betrachtet und danach die Fundamentallösung der Laplacegleichung hergeleitet. Mit dieser konnten wir im Ganzraum die Lösung der Poissongleichung beweisen. Dann hatten wir die Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen gezeigt und das Maximumprinzip harmonischer Funktionen eingeführt. Wir hatten dann die Harnacksche Ungleichung hergeleitet und bewiesen, dass harmonische Funktionen unendlich oft differenzierbar sind.

Wir beweisen nun Schranken für die Ableitungen harmonischer Funktionen und zeigen damit den Satz von Liouville, dass auf dem ganzen ${ℝ}^n$ definierte harmonische Funktionen automatisch konstant sind.

Diesen Satz von Liouville gibt es auch in der Funktionentheorie für holomorphe Funktionen.

Eindeutigkeit beschränkter Lösungen der Poissongleichung

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