Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Das Maximumprinzip der Laplacegleichung

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Wo stehen wir

Wir hatten die Transportgleichung betrachtet und danach die Fundamentallösung hergeleitet. Mit dieser konnten wir im Ganzraum die Lösung der Poissongleichung beweisen. Dann hatten wir die Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen bewiesen.

Motivation

Wir folgern aus den Mittelwerteigenschaften des letzten Kapitels, dass eine harmonische Funktion ihr Maximum auf dem Rand annimmt. Daraus ergibt sich die Eindeutigkeit des Randwertproblems der Poissongleichung und zudem die stetige Abhängigkeit der Lösungen von den Randbedingungen: bei kleiner Änderung der Randbedingungen ändert sich die Lösung nur geringfügig. Das ist insbesondere in der Numerik von zentraler Bedeutung, wo man automatisch mit Ungenauigkeiten rechnet.

Der Zusammenhang

Dazu starten wir mit etwas Topologie: dem Begriff des Zusammenhangs. Genauere Erklärungen folgen detailliert im nächsten Kapitel.

Stetige Abhängigkeit der Poissongleichungs-Lösung von den Randbedingungen

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