Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/sigma-additive Funktionen

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In der Maßtheorie wollen wir Mengen eine Länge, eine Fläche oder ein Volumen zuordnen. Unser Ziel ist, später die "guten" Mengen durch abzählbar viele Intervalle, Rechtecke oder Quader "minimal" zu überdecken und damit die Länge, die Fläche oder das Volumen der "guten" Menge zu bestimmen.

Wir hatten im letzten Kapitel die endlichen disjunkten Vereinigungen der Rechtecke $F^p$ betrachtet: diese bilden einen Ring (mit $A,B\in R$ sind auch $\mathrm{\varnothing },A\cup B,A\mathrm{\setminus }B\in R$). Im Folgenden beweisen wir die Aussagen gleich allgemein für Ringe, dabei sollte man sich aber immer die endliche Vereinigung disjunkter Rechtecke vorstellen.

Als Nächstes muss unsere Flächenfunktion also mit einer abzählbaren Vereinigung von Rechtecken umgehen können. Entscheidend ist, dass die Vereinigung wieder die Form einer endlichen disjunkten Vereinigung von Rechtecken hat, d.h.

$\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨄}}{A}_i\in R$

Dann muss sein Flächeninhalt übereinstimmen mit der Summe der Flächen der einzelnen Rechtecke $A_i$. In mathematischer Schreibweise

Diese Eigenschaft bekommt einen Namen: sie heißt sigma-additiv. Sie klingt selbstverständlich, muss aber explizit gefordert oder bewiesen werden.

Für unsere Flächen- bzw. Volumenfunktion $l$ aus dem letzten Kapitel werden wir am Ende des Kapitels zeigen, dass sie zum Glück sigma-additiv ist. $l$ wird das sogenannte Lebesguemaß werden und das ist so wichtig, dass uns ihre Sigma-Additivität einen längeren Beweis wert ist.

Die plausbile Forderung der Sigma-Additivität ist nicht selbstverständlich, sie muss bewiesen oder gefordert werden. Deshalb müssen wir uns als MathematikerInnen detailliert mit Ihren Eigenschaften im nächsten Satz auseindersetzen.

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